抽象函數(shù)問(wèn)題的求解策略探究

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1、抽象函數(shù)問(wèn)題的求解策略探究湖南省黃愛(ài)民趙長(zhǎng)春函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用乂是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，乂能綜介考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和接受能力，以及對(duì)一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)。因此備受命題者的青睞，在近兒年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問(wèn)題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)，感到束手無(wú)策。下面通過(guò)例題來(lái)探討這類問(wèn)題的求解策略。一、具體模型策略例].已

2、知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)X.、y滿足f(O)HO,f(x+y)=f(x)(y),且當(dāng)xVO時(shí),f(x)>1,則當(dāng)x>0時(shí)f(x)的取值范圍是o解析：令f(x)=a(0

3、推flif(2006),顯然1-/W比較繁鎖，若將(*)式與tan(%+-)=1+tanx進(jìn)行類比，則結(jié)構(gòu)形式類似，而y=tanx41一tanxJT的周期為gx「于是便產(chǎn)生-個(gè)念頭：f(x)也有可能是周期函數(shù)，周期為4X2之V/(%+4)=/[(%+2)+2]=1+/(兀+2)l-.f(x+2)?1+/(X)11+/(兀)1-/W???/(x+8)=/[(兀+4)+4]=——卜=/(x)"7w于是猜想成立。Af(2006)=f(8X250+6)=f(6)=f(-2+8)=-/(-2)=1-^3.從而應(yīng)選B。評(píng)析：由于抽象函數(shù)的結(jié)論對(duì)任何滿足

4、條件的具體函數(shù)都成立，因而可以通過(guò)考察一些具體函數(shù)，巧妙類比聯(lián)想，以找到解題的突破口，最后利用具體函數(shù)的一些性質(zhì)探索出抽彖函數(shù)的解題思路。三、運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)策略例3?定義在/?上的單調(diào)函數(shù)y=/(x)滿足/(3)=10色3,且對(duì)任意的兀、yeR都有/(x+y)=/(x)+/(y)(1)求證：/(x)為奇函數(shù)(2)若/(k3A)+f(y-9x-2)<0對(duì)任意xeR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：令x=y=Ot代入/(x+y)=/(x)+/(y)得：/(0)=2/(0)/./(0)=0令y=-x代入上式得：f(x-x)=/(x)+/(-%),又/

5、(0)=0??.0=f(x)+/(-x)即f(-x)=-f(x)對(duì)任意xeR成立，???/(兀)是奇函數(shù)(2)/(3)=log23>0,乂/(x)在R上單調(diào)且/(0)=0，/⑶>/(0),故f(x)是R上的增函數(shù),又由(1)知.f(x)為奇函數(shù)7?:f(ky)<-f(3x-9x-2)=f(-y+9X+2)，??.ky<-3X+9V+2,即k<-l+r+—=h(x)y恒成立,只需k

6、如此.只有充分挖掘和利川題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問(wèn)題才能峰冋路轉(zhuǎn)，化難為易，常用的解題考法有：①利用奇偶性整體思考；②利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化；③利用周期性冋歸已知，④利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合；⑤借助特殊點(diǎn)，列方程(組)等.四、賦值換元策略例4.是否存在函數(shù)f(x)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：(1)/(兀+刃+f(x-y)=2f(x)cosy,(x,ye/?)；(2)f(0)=a(a為常數(shù))；TT(3)f(-)=b(h為常數(shù))？若存在，求/(x)的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：條件(1)中x、y的任意性，隱含著兀、y既可“換元”

7、，又可“賦值”，結(jié)合條件(2)和(3),可望構(gòu)造出函數(shù)方程組，從而求得函數(shù)表達(dá)式。令兀=0,y=f,得/(r)+/(-r)=2acost①7T7T令%=-+y=-.得/(^+r)+/(0=0②TTTT令x=y,y=t+得/(%+"+/(—f)=—2bsinr③將①+②-③得f(x)=acost+bsint,故存在f(x)=acost+bsint符合題意。評(píng)析：對(duì)于用常規(guī)解法難以解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若利用一些特殊的數(shù)學(xué)思想方法求解，有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。方程觀點(diǎn)是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)基本觀點(diǎn)，挖掘隱含條件，合理賦值，構(gòu)造方程(組)，化兩數(shù)問(wèn)題為

8、方程問(wèn)題，可使這類抽象函數(shù)問(wèn)題迅速獲解。如(1)在求函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用“代換”的方法，將X換成-X或?qū)換成丄籌;X(2)在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值(如0或1或一1