53雙因素方差分析

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1、§5.3雙因素方差分析I無交互作用的雙因素方差分析(1)數(shù)學(xué)模型現(xiàn)在考慮影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素有兩個：A,B。因素A有水平r個；有水平s個；因素A,B的各種組合水平均只作一次試驗(yàn)；兩因素之間無交互作用。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表因素B因素A假設(shè)：(1*)獨(dú)立；(2*)，即具有相同的方差；(3*)，其中，且獨(dú)立；數(shù)學(xué)模型：，其中：—總平均值；;;—因素A在水平Ai下對試驗(yàn)指標(biāo)的效應(yīng)值；—因素B在水平Bj下對試驗(yàn)指標(biāo)的效應(yīng)值；;;—因素A,B的交互效應(yīng)值；—隨機(jī)部分，假定：獨(dú)立同正態(tài)分布；注：“無交互作用”等價于：，即；(2)方差分析(i)假設(shè)檢驗(yàn)問題兩種因素分別進(jìn)行檢驗(yàn)：即因素

2、A對試驗(yàn)指標(biāo)影響不顯著；即因素B對試驗(yàn)指標(biāo)影響不顯著；注：當(dāng)和成立時，.(ii)構(gòu)造F-統(tǒng)計量及否定域設(shè)；；；；；；；注：注意，.這里利用了“無交互效應(yīng)”的假設(shè)條件：.由此可見，與及無關(guān)，即與假設(shè)和是否成立無關(guān)?！盁o交互效應(yīng)”的假設(shè)條件就是這里提出來的??！*引理：設(shè)，則(1*)分解式：；(2*)獨(dú)立性：{，，}是兩兩獨(dú)立的，且+與獨(dú)立；(3*)統(tǒng)計特性：當(dāng)和同時成立時，有；當(dāng)成立時，有；當(dāng)成立時，有；對任意情形，有.注：是的一個無偏估計.證.易見,此式中的三個混合項均為零.故(1*)成立.獨(dú)立性(2*)的證明如下：注意，；.（**）而這兩個等式的成立只要展

3、開即知.于是，與獨(dú)立；與獨(dú)立；從而，與獨(dú)立；故與獨(dú)立；同理，可證：與獨(dú)立；按抽樣分布定理，與和均獨(dú)立，而與獨(dú)立是假設(shè)條件的結(jié)果.故與獨(dú)立；顯然，+與獨(dú)立.結(jié)論(3*)是抽樣分布定理和結(jié)論(2*)的推論.*構(gòu)造F-統(tǒng)計量如下：，當(dāng)成立時；，當(dāng)成立時；注：上面的分析表明：對假設(shè)和可以分別進(jìn)行檢驗(yàn)。*否定域的結(jié)構(gòu)解釋:當(dāng)時，應(yīng)接近零；當(dāng)時，應(yīng)接近零；按此解釋，和的否定域結(jié)構(gòu)形式為：；；為了決定a,b,構(gòu)作方程：；；由此即可決定a,b.(iii)方差分析表無交互效應(yīng)的雙因素方差分析表誤差源平方和自由度均方差F-值臨界值因素Ar-1因素Bs-1誤差(r-1)(s-1

4、)總誤差rs-1在進(jìn)行判決時，首先選取，然后由下列方程確定臨界值a和b：；.最后進(jìn)行判決：若，則拒絕；否則，接受；若，則拒絕；否則，接受；例5.3.1(p.164)此題的數(shù)據(jù)表為產(chǎn)品合格率B1(現(xiàn)用量)B2(增加5%)B3(增加8%)A1(甲地)A2(乙地)A3(丙地)596361707466667071因素A={A1,A2,A3};因素B={B1,B2,B3},即每個因素三個水平。試問：每個水平組合各作一次試驗(yàn)，要求分析兩個因素對產(chǎn)品合格率的影響是否顯著？練習(xí)題(p.188)：3；II有交互作用的雙因素方差分析(1)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表有交互作用的雙因素方差分析數(shù)

5、據(jù)結(jié)構(gòu)表因素B因素A在這個數(shù)據(jù)表中，水平的每個組合都有n個觀測值.(2)數(shù)學(xué)模型(1*)假設(shè)：獨(dú)立;；注：都有相同的方差.(2*)模型；其中，，獨(dú)立；；，；，；，，；(3*)解釋：反映因素A的水平Ai對試驗(yàn)指標(biāo)的影響效應(yīng)；反映因素B的水平Bj對試驗(yàn)指標(biāo)的影響效應(yīng)；反映組合對試驗(yàn)指標(biāo)的交互效應(yīng).(3)假設(shè)檢驗(yàn)問題這里，要求檢驗(yàn)三個內(nèi)容，因此，有三個假設(shè)：(4)檢驗(yàn)統(tǒng)計量的設(shè)計按數(shù)學(xué)模型，有(1*)誤差；；；；；其中，；；；.(2*)基本結(jié)論(i)誤差的分解式：；(ii)誤差之間的獨(dú)立性：在任何情況下，是兩兩獨(dú)立的,與獨(dú)立；(iii)誤差的統(tǒng)計特性：當(dāng)，，成立

6、時，；當(dāng)成立時，；當(dāng)成立時，；當(dāng)成立時，；在任何情況下，.（證明方法類似于無交互作用的情形）(3*)設(shè)計F-檢驗(yàn)統(tǒng)計量當(dāng)成立時，；當(dāng)成立時，；當(dāng)成立時，.(4*)否定域的結(jié)構(gòu)形式跟無交互效應(yīng)情形的設(shè)計一樣；(5)方差分析表(重復(fù)觀測n次的情形)有交互效應(yīng)的雙因素方差分析表誤差源平方和自由度均方差F-值臨界值因素Ar-1因素Bs-1交互(r-1)(s-1)誤差rs(n-1)總誤差rsn-1在進(jìn)行判決時，首先選取，然后由下列方程確定臨界值a，b，c：；；.注：(1*)當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)時，不能考慮“有交互效應(yīng)的雙因素”方差分析問題.(2*)雙因素方差分析的統(tǒng)一數(shù)學(xué)

7、模型應(yīng)該以有交互效應(yīng)的模型為準(zhǔn).(3*)如果為常數(shù)，即，則相應(yīng)的。這表明：如果同分布，問題就是：無交互效應(yīng)；否則就是：有交互效應(yīng).例5.3.2(p.167)；練習(xí)題(p.188)：4.