13.4 課題學習 最短路徑問題

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1、北京陳經(jīng)綸中學海楠第十三章軸對稱13.4課題學習最短路徑問題復習引入線段公理：兩點之間，線段最短.垂線段性質：垂線段最短.AB最短路徑問題BAl問題1如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？思考：你能把這個問題轉化為數(shù)學問題嗎？ABllABCC轉化為數(shù)學問題當點C在直線l的什么位置時，AC與BC的和最小？分析：ABl如圖，點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點之間，線段最短.？lABC（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？（2）我們能否把A、B兩

2、點轉化到直線l的異側呢？轉化需要遵循的原則是什么？（3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉化目標？分析：lABClABClABCB′如下左圖，作點B關于直線l的對稱點B′.當點C在直線l的什么位置時，AC與CB′的和最?。咳缟嫌覉D，在連接AB′兩點的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求.lABCB′在直線l上任取另一點C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點B、B′的對稱軸，點C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′

3、．lABCB′C′證明：如圖.問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題ABl問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個問題轉化為數(shù)學問題嗎？如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？分析：aBAbMN由于河寬是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.分析：lABCaBAbMNA'如左圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移

4、到點A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問題轉化為：當點N在直線b的什么位置時，A′N+NB最??？參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”可以解決.如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′

5、N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′問題2歸納抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題lABC小結歸納lABClABCB′轉化軸對稱變換平移變換兩點之間，線段最短.如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄.請你幫他確定這一天的最短路線.草地小河A課堂練習已知：如圖，在l1、l2之間有一點A.求作：分別在l1、l2上確定一點M、N，使AM+MN+NA最小.l1l2AMNl1l2如圖，作點A關于l1和l2的對稱點A1、A2，連接A1A2，交l1于M點，交l2于N點.連接AM和AN，則AM+MN+NA最小

6、.因此，那天這樣走路線最短.MNA1AA2課堂小結AB線段公理：兩點之間，線段最短.最短路徑問題垂線段性質：垂線段最短.BAl教材復習題13第15題.課后作業(yè)1.必做作業(yè)你也許很喜歡臺球，在玩臺球過程中也用到數(shù)學知識.如圖，四邊形ABCD是長方形的球桌臺面，有兩個球分別位于P、Q兩點上，先找出P點關于BC的對稱點P′，連接P′Q交BC于M點，則P處的球經(jīng)BC反彈后，會擊中Q處的球.請回答：如果使P球先碰撞臺邊BC反彈碰撞臺邊AD后，再擊中Q球，該如何撞擊呢?（畫出圖形）2.選做作業(yè)ACDBPQACDBPQP'M謝謝！