數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

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1、數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用山西省陽泉市第一中學(xué)高碩數(shù)形結(jié)合思想方法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的重要思想方法，它把“數(shù)”和“形”有機(jī)地結(jié)合在一起，可以起到以“數(shù)”助形和以“形”解“數(shù)”的目的，從而把許多復(fù)雜抽象、難以理解的數(shù)學(xué)問題變成形象、直觀的問題，有助于學(xué)生更方便快捷地解題。一、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用原則在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用要堅持以下幾點原則：一是等價原則。就是“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)和“形”的幾何性質(zhì)兩者在轉(zhuǎn)換時要等價，也就運用圖形反映的問題和數(shù)量表示的問題要有一致性；二是雙向原則。就是要在解題中既要注重

2、對“數(shù)”的抽象性進(jìn)行探索，又要對“形”的直觀性進(jìn)行探索，避免“數(shù)”或“形”單獨探索給解題造成局限性；三是簡潔原則。在進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換過程中，盡量使圖形和代數(shù)式保持簡潔，以避免繁瑣的計算而造成錯誤，這樣才能更好地達(dá)到“化繁為簡”與“化難為易”的解題目的，使數(shù)形結(jié)合思想的作用發(fā)揮出來；四是直觀與創(chuàng)新原則。就是要充分利用圖形和坐標(biāo)系的直觀性，來表示抽象的概念具體化、直觀化。數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的運用不可照搬，需要活學(xué)活用和創(chuàng)新運用，才能更好發(fā)揮其功能。二、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用策略（一）以形助數(shù)，使抽象問題變得形象直觀在高中數(shù)學(xué)解題

3、中，特別是對于一些數(shù)量關(guān)系既復(fù)雜又抽象的問題，學(xué)生難以理解，不容易找到解題的思路和方法。如果運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，就可以把復(fù)雜抽象“數(shù)”的問題用直觀的圖形問題來解決，這樣就可以繞開冗長繁瑣的數(shù)量計算的過程，利用圖形能夠幫助學(xué)生有效解決復(fù)雜的數(shù)量問題，使學(xué)生對題目中的數(shù)量關(guān)系能夠正確理解，即能夠把題目中抽象的數(shù)量問題變成形象直觀的圖形問題，可以使學(xué)生容易理解題意，快速準(zhǔn)確地找出已知條件、未知關(guān)系，就容易快速形成解題思路，快速正確找出數(shù)量關(guān)系式，從而有效突破解題難點。P例1圖C1OyxC2例1：已知一個動圓P與兩個定圓相外切，定

4、圓C1方程是：（x+4）2+y2=100,定圓C2方程是：（x-4）2+y2=4,求這個動圓P的圓心軌跡的方程。解析：此題的解答如果直接運用求解方程的方法非常麻煩，而如果運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過借助于兩個圓圖象的“形”來求方程“數(shù)”的問題就比較方便。假設(shè)動圓的圓心為P（x，y）,半徑是r,從方程可以得出：定圓C1的圓心是（-4，0），半徑是10；定圓C2的圓心是（4，0），半徑是2。借助圖形可以直觀看出：動圓C與定圓C1是相內(nèi)切的，與定圓C2是相外切，就能容易得出下面的式子：｜C1P｜=10-r，｜C2P｜=r+2，把兩個

5、式子相加得：｜C1P｜+｜C2P｜=10-r+r+2=12>｜C1C2｜=8，根據(jù)橢圓的定義可知點P的運動軌跡是橢圓。再根據(jù)圖形可得出c=4,a=6,可求出b2=20,動圓P的圓心軌跡的方程是x235+y220=1。點評：在本題的求解中，借助于圖形的直觀性，通過做輔助線的方式，很快就能形成解題思路，使問題既簡單又快捷地得到解決，很好地體現(xiàn)了“以形助數(shù)”的思想。（二）以數(shù)解形，使學(xué)生的解題思維更嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)作為一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，進(jìn)行數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)或數(shù)學(xué)題目的解題必須要有嚴(yán)謹(jǐn)思維能力做基礎(chǔ)，許多學(xué)生在解題中，考慮數(shù)學(xué)問題的全面性、嚴(yán)謹(jǐn)

6、性不夠嚴(yán)謹(jǐn)，經(jīng)常出現(xiàn)粗心大意的問題，造成解題錯誤或找不到正確的解題思路。如果學(xué)生在解決一些比較復(fù)雜的圖形問題時，借助于“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性與精確性，來找出圖形中包含的數(shù)量關(guān)系，以此來解決幾何圖形問題，既容易找到解題思路，又能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力。而且對于一些幾何圖形問題，有時候如果僅憑直覺觀察不容易找出圖形的特點和規(guī)律，借助于“數(shù)”的精確性，就能深入細(xì)微地刻畫圖形，能深入挖掘幾何圖形中的隱含條件，使解題更加嚴(yán)謹(jǐn)。例2:有一個圓M介于直線x=3和拋物線y2=2x所圍成的封閉區(qū)間里（含邊界區(qū)域），求這個圓M在此區(qū)域中能取得的半徑最大值

7、是多少？分析：從圖形中可以大概看出圓半徑的數(shù)值，但無法得到精確的圓半徑數(shù)值。如果借助于代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)、精確的計算，就能求出準(zhǔn)確的圓半徑數(shù)值?？煞謨煞N情況進(jìn)行討論：（1）不含邊界時例2圖OyxMX=3當(dāng)圓M在這個封閉區(qū)域中不含直線和拋物線邊界時，即圓M與直線和拋物線均不存在交點時，無法用聯(lián)立方程組的形式進(jìn)行求解。（2）包含邊界時當(dāng)圓M在這個封閉區(qū)域中包含直線和拋物線邊界時，即圓M與直線和拋物線均存在交點時，可用聯(lián)立方程組的形式進(jìn)行求解。根據(jù)圖形可看出：圓M的圓心在x軸上，因此假設(shè)其圓心為（a,0）(0

8、x-a）2+y2=(3-a)2,把圓方程與拋物線方程聯(lián)立組成方程組，可得x2+21-ax+6a-9=0,?=[2(1-a)]2-46a-9=0,再結(jié)合a的取值范圍，就可求出a=4-6，因為3-a