例談數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中應(yīng)用

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1、例談數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維策數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，又相對(duì)超脫于某一個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)之外。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)比單純的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)困難得多。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是具體數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它強(qiáng)調(diào)的是一種意識(shí)和觀念。常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類(lèi)討論的思想方法、函數(shù)與方程的思想方法和建模的思想方法等。其中，數(shù)形結(jié)合的思想方法運(yùn)用尤為廣泛。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世

2、界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，故研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的?！皵?shù)”就是代數(shù)式、函數(shù)、不等式等表達(dá)式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以形直觀地表達(dá)數(shù)，以數(shù)精確地研究形。“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微?！睌?shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，它能有效地將形象思維過(guò)渡到抽象思維。下面，略舉數(shù)例，談?wù)剶?shù)形結(jié)合的思想方法在幾何解題中的運(yùn)用。一、挖掘內(nèi)在聯(lián)系，找準(zhǔn)結(jié)合點(diǎn)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，關(guān)鍵在于立足題例，悉心觀察，深入思考，嚴(yán)謹(jǐn)分析，反復(fù)推敲，準(zhǔn)確找到“數(shù)”與“

3、形”的最佳結(jié)合點(diǎn)。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的過(guò)程中，常用的結(jié)合點(diǎn)甚多。其中，筆者有感于如下兩點(diǎn)。1?在數(shù)形結(jié)合中利用曲線的定義在圓錐曲線中，圓、橢圓、拋物線、雙曲線的定義揭示了動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中與定點(diǎn)(定直線)所保持的特定關(guān)系。這種特定關(guān)系正是“數(shù)”與“形”的最佳結(jié)合點(diǎn)之一。在解題中，須善用之。例如，已知A(,0),B是圓F：上的一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。分析(圖略)：由線段AB的垂直平分線易想到連接A、P,勢(shì)必有PA二PB，于是PA+PF二FB,而FB是圓F的半徑(定

4、值),且圓心F(,0)與點(diǎn)A(,0)均為定點(diǎn)。這些，正好符合橢圓的定義。由A點(diǎn)、F點(diǎn)的坐標(biāo)可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓。故可用定義法解之，一舉奏效。此題，若設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，按常法一一“軌跡法”解之，則既難且繁，然而，解題者卻極易步入此道。因此，我們務(wù)必加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。2?在數(shù)形結(jié)合中利用曲線與方程的關(guān)系曲線與方程的關(guān)系是“數(shù)”與“形”的結(jié)合點(diǎn)之一。其通常用法是：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)必然適合于曲線的方程。若點(diǎn)的坐標(biāo)含有未知數(shù)，則把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，旨在利用曲線與方程的

5、關(guān)系建立新的方程，解決問(wèn)題。這較之利用其它等量關(guān)系建立方程更為簡(jiǎn)捷。例如，如圖，已知P(3a,a)是反比例函數(shù)(k>0)與Oo的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為ion,求該反比例函數(shù)式。分析：圖中陰影部分的面積正好是。。面積的，所以O(shè)o面積為40口。因?yàn)辄c(diǎn)P(3a,a)既在雙曲線上又在圓上，其坐標(biāo)必然分別適合于它們的方程，故可建立新的方程(組)，以求k之值。簡(jiǎn)述：???點(diǎn)P(3a,a)在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上，.?.，.?.，V4on=n,=40,AOo的方程為,?.?點(diǎn)P(3a,a)在Oo

6、上，.I,.I,故該反比例函數(shù)式為二、擺脫思維定勢(shì)，力避局限性值得注意的是，數(shù)形結(jié)合的思想方法在運(yùn)用中，有其局限性，不可泛用和濫用，有時(shí)則須擺脫其思維定勢(shì)的影響，另辟新徑。否則，極易步入歧途，自找麻煩，甚至無(wú)功而返。例如，下面的一道組合式幾何題，第一小題，用數(shù)形結(jié)合的思想方法，不難解之，但第二小題若用數(shù)形結(jié)合的思想方法,則障礙重重，特別是第二問(wèn)，更是多方設(shè)形，難以奏效。但如若采用三角函數(shù)與不等式的計(jì)算方法，則既易且簡(jiǎn)，水到渠成。其為一一已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,且ZB=60°，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q

7、均以1單位?s的速度分別從D、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿射線DC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線C-B-A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q到達(dá)A點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（1）當(dāng)Q在邊CB上時(shí)（不與B、C重合），試判斷ZkAPQ的形狀。分析（圖略人要判斷AAPQ的形狀，則須考察其三邊是否彼此相等。一般是利用三角形全等的性質(zhì)解決問(wèn)題。于是,連接A、C,考察AABO與AACP是否全等，繼而進(jìn)一步探索,AAPQ是否是等邊三角形。簡(jiǎn)述：連接A、C,由菱形得性質(zhì)易知ZBCA=ZPCA=60°,???可知ZkABC是等邊三角形，???AB二AC,ZB

8、-ZPCA,又易知BQ=CP,/.AABQ^AACP,AQ=AP,ZBAQ二ZCAP,又易知ZBAC=60°,AZPAQ=60°,故ZXAPQ是等邊三角形。（2）當(dāng)點(diǎn)Q在EC邊上時(shí)（不與B、C重合），求ACPQ周長(zhǎng)的最小值及ACPQ面積的最大值。①求ACPQ周長(zhǎng)的最小值分析（圖略）：由于易知QC+CP二6（定值），所以PQ最小時(shí)，其周長(zhǎng)的值最小。如果從“形”入手，則估計(jì)這時(shí)P、Q分別為DC、CB的中點(diǎn)，記為M、N,于是作AAOP與ZXANM,由于AAQP形成的瞬時(shí)性，則只須證明PQ>MN即可。由