例談數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中應用

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1、例談數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中應用數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，數(shù)學思想方法是解決數(shù)學問題的思維策數(shù)學思想方法蘊含于數(shù)學知識之中，又相對超脫于某一個具體的數(shù)學知識之外。數(shù)學思想方法的教學比單純的數(shù)學知識教學困難得多。因為數(shù)學思想方法是具體數(shù)學知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它強調(diào)的是一種意識和觀念。常用的數(shù)學思想方法主要有轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類討論的思想方法、函數(shù)與方程的思想方法和建模的思想方法等。其中，數(shù)形結(jié)合的思想方法運用尤為廣泛。這是因為數(shù)學是研究現(xiàn)實世

2、界空間形式和數(shù)量關系的科學，故研究總是圍繞著數(shù)與形進行的?！皵?shù)”就是代數(shù)式、函數(shù)、不等式等表達式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以形直觀地表達數(shù)，以數(shù)精確地研究形?！皵?shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微?！睌?shù)形結(jié)合是研究數(shù)學問題的重要思想方法，它能有效地將形象思維過渡到抽象思維。下面，略舉數(shù)例，談談數(shù)形結(jié)合的思想方法在幾何解題中的運用。一、挖掘內(nèi)在聯(lián)系，找準結(jié)合點運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，關鍵在于立足題例，悉心觀察，深入思考，嚴謹分析，反復推敲，準確找到“數(shù)”與“

3、形”的最佳結(jié)合點。在運用數(shù)形結(jié)合思想方法的過程中，常用的結(jié)合點甚多。其中，筆者有感于如下兩點。1?在數(shù)形結(jié)合中利用曲線的定義在圓錐曲線中，圓、橢圓、拋物線、雙曲線的定義揭示了動點在運動中與定點(定直線)所保持的特定關系。這種特定關系正是“數(shù)”與“形”的最佳結(jié)合點之一。在解題中，須善用之。例如，已知A(,0),B是圓F：上的一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P。求動點P的軌跡方程。分析(圖略)：由線段AB的垂直平分線易想到連接A、P,勢必有PA二PB，于是PA+PF二FB,而FB是圓F的半徑(定

4、值),且圓心F(,0)與點A(,0)均為定點。這些，正好符合橢圓的定義。由A點、F點的坐標可知，動點P的軌跡是中心在原點，焦點在X軸上的橢圓。故可用定義法解之，一舉奏效。此題，若設動點P的坐標，按常法一一“軌跡法”解之，則既難且繁，然而，解題者卻極易步入此道。因此，我們務必加強數(shù)形結(jié)合的思想意識。2?在數(shù)形結(jié)合中利用曲線與方程的關系曲線與方程的關系是“數(shù)”與“形”的結(jié)合點之一。其通常用法是：曲線上的點的坐標必然適合于曲線的方程。若點的坐標含有未知數(shù)，則把點的坐標代入曲線方程，旨在利用曲線與方程的

5、關系建立新的方程，解決問題。這較之利用其它等量關系建立方程更為簡捷。例如，如圖，已知P(3a,a)是反比例函數(shù)(k>0)與Oo的一個交點，圖中陰影部分的面積為ion,求該反比例函數(shù)式。分析：圖中陰影部分的面積正好是。。面積的，所以Oo面積為40口。因為點P(3a,a)既在雙曲線上又在圓上，其坐標必然分別適合于它們的方程，故可建立新的方程(組)，以求k之值。簡述：???點P(3a,a)在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上，.?.，.?.，V4on=n,=40,AOo的方程為,?.?點P(3a,a)在Oo

6、上，.I,.I,故該反比例函數(shù)式為二、擺脫思維定勢，力避局限性值得注意的是，數(shù)形結(jié)合的思想方法在運用中，有其局限性，不可泛用和濫用，有時則須擺脫其思維定勢的影響，另辟新徑。否則，極易步入歧途，自找麻煩，甚至無功而返。例如，下面的一道組合式幾何題，第一小題，用數(shù)形結(jié)合的思想方法，不難解之，但第二小題若用數(shù)形結(jié)合的思想方法,則障礙重重，特別是第二問，更是多方設形，難以奏效。但如若采用三角函數(shù)與不等式的計算方法，則既易且簡，水到渠成。其為一一已知菱形ABCD的邊長為6,且ZB=60°，現(xiàn)有兩動點P、Q

7、均以1單位?s的速度分別從D、C同時出發(fā)，點P沿射線DC運動，點Q沿折線C-B-A運動，當Q到達A點時運動停止，設運動時間為t（1）當Q在邊CB上時（不與B、C重合），試判斷ZkAPQ的形狀。分析（圖略人要判斷AAPQ的形狀，則須考察其三邊是否彼此相等。一般是利用三角形全等的性質(zhì)解決問題。于是,連接A、C,考察AABO與AACP是否全等，繼而進一步探索,AAPQ是否是等邊三角形。簡述：連接A、C,由菱形得性質(zhì)易知ZBCA=ZPCA=60°,???可知ZkABC是等邊三角形，???AB二AC,ZB

8、-ZPCA,又易知BQ=CP,/.AABQ^AACP,AQ=AP,ZBAQ二ZCAP,又易知ZBAC=60°,AZPAQ=60°,故ZXAPQ是等邊三角形。（2）當點Q在EC邊上時（不與B、C重合），求ACPQ周長的最小值及ACPQ面積的最大值。①求ACPQ周長的最小值分析（圖略）：由于易知QC+CP二6（定值），所以PQ最小時，其周長的值最小。如果從“形”入手，則估計這時P、Q分別為DC、CB的中點，記為M、N,于是作AAOP與ZXANM,由于AAQP形成的瞬時性，則只須證明PQ>MN即可。由