《數(shù)形結(jié)合思想》在解題中的應(yīng)用.docx

《《數(shù)形結(jié)合思想》在解題中的應(yīng)用.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用一、數(shù)形結(jié)合思想的提出在高中數(shù)學(xué)解析幾何這一模塊中，處理問題的方法常見有代數(shù)法和幾何法。代數(shù)法是從“數(shù)”的角度解決問題、幾何法從“形”的角度解決問題，這兩種方法相輔相成，相得益彰。現(xiàn)舉例如下：若直線y=x?k與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍.解：(代數(shù)法)曲線方程可化為x2>y2=1(x_0),把y=x?k代入x2?y2zi1(x_0)可得：Zx2+2kx+k2-1=0(xZO),由題意可知方程僅有一個(gè)非負(fù)根①當(dāng)方程有等根時(shí)，即厶=(2k)「8(k2?1)=o,可得k二「丿2,當(dāng)k二衣2時(shí)，方程可化為2x2A2xA0,得

2、x=不合題意；當(dāng)k--2時(shí)，方程為2x2?2、、2x?1=0得x-符合題意，可知^2；2②當(dāng)方程根為x=0時(shí)，得k2-1=0,k=一1,當(dāng)k二-1時(shí)，方程為2x2-2x=0,得方程兩個(gè)根為&=0,x2=1不合題意應(yīng)舍去；當(dāng)k=1時(shí)，方程為2x22A0,得方程兩個(gè)根為捲=0,X2=-1適合題意，可知;③當(dāng)方程根為一正一負(fù)時(shí)，只需NX?1：：：0,可得-必1。2綜上所述：所求k的取值范圍為k二或-1：::k乞1。(幾何法)曲線x=..1是單位圓x2y2=1的右半圓(x?0),k是直線"xk在y軸上的截距.在同一坐標(biāo)系屮畫出兩曲線圖像如圖所示知：直線與曲線相切

3、時(shí)，k「2,由圖形：可得kV2或—1：k乞1。上述兩種解法可以看出利用代數(shù)法求解過程較為復(fù)雜、繁瑣且容易錯(cuò)；而利用幾何法即一種數(shù)形結(jié)合的思想方法，卻能使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽彖問題具體化，它在數(shù)學(xué)解題屮具有極為獨(dú)特的指導(dǎo)作用。二、數(shù)形結(jié)合思想的概述數(shù)與形是數(shù)學(xué)屮兩個(gè)最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論Z間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式第3頁共5頁巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決

4、的方法稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。三、數(shù)形結(jié)合思想解題方法指導(dǎo)1轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑：①通過坐標(biāo)系的建立，引

5、入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解。②轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來考慮，如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等。③構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等。2?運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法：①“由形化數(shù)”:就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形屮蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。②“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。③“數(shù)形轉(zhuǎn)換”:就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適

6、時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。四、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用1化靜為動(dòng)用圖像例1已知：有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q坐標(biāo)分別為(-1,1),(2,2),若直線I:xmAm=0與有向線段PQ延長(zhǎng)線相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：題中直線l:xmym=0是一條過定點(diǎn)的動(dòng)直線系，而有向線段PQ是一條定的有向線段，要使直線I與有向線段PQ延長(zhǎng)線相交，可先找到I過一個(gè)臨界點(diǎn)Q,再從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)促使直線I的斜率在某一范圍內(nèi)，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍。第3頁共5頁1解：直線I的方程I:xmy0可化為點(diǎn)斜式：y?1(x-0),易知直線I過定m1點(diǎn)M(0,?1

7、)且斜率為,因?yàn)镮與PQ的延長(zhǎng)線相交，由數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)過M且與PQ第3頁共5頁13m平行時(shí)，直線的斜率趨近于最??；當(dāng)過點(diǎn)M,Q時(shí)，直線I的斜率趨近于最大，又kpQ二第4頁共5頁3???函數(shù)值域?yàn)閗MQ=2,設(shè)直線丨的斜率為k,由kPQ:::k:::kg1132得所以_3：：：m■■——3m23評(píng)注：含有一個(gè)變量的直線方程可化為點(diǎn)斜式或化為經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程?本題是1化為點(diǎn)斜式方程后，可看出交點(diǎn)M(0,?1)和斜率，此類題目一般結(jié)合圖形化靜為動(dòng)，m以動(dòng)求解，可判斷出斜率的取值范圍。2、破解疑難構(gòu)圖像sinx+2例2求函數(shù)y的值域。cosx-2分析

8、：本題可以把函數(shù)化為關(guān)于X的三角函數(shù)，然后利用其有界性求值域，但其運(yùn)算量大，對(duì)學(xué)