邊際分布與隨機變量的獨立性

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1、§3.2邊際分布與隨機變量的獨立性問題：已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布，如何求出X和Y各自的分布？3.2.1邊際分布函數(shù)巳知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則Y?FY(y)=F(+?,y).X?FX(x)=F(x,+?),邊緣分布的幾何意義FX(x)的函數(shù)值表示隨機點(X,Y)落入如下左圖所示區(qū)域內(nèi)的概率；FY(y)的函數(shù)值表示隨機點(X,Y)落入如下右圖所示區(qū)域內(nèi)的概率。OxxOxyyy補例5設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A，B，C為常數(shù)，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)(1)試確定A，B，C；(2)求X和Y的邊緣分布函數(shù)；(3)

2、求P(X>2)解(1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2可知解得(2)(3)由X的分布函數(shù)可得故3.2.2邊際分布列巳知(X,Y)的聯(lián)合分布列為pij，則X的分布列為：Y的分布列為：以表格形式表示為YXy1y2…yj…P(X=xi)x1p11p12…p1j…x2p21p22…p1j……………………xipi1pi1…pij……………………P(Y=yj)……1把兩封信隨機地投入已經(jīng)編好號的3個郵筒內(nèi),設(shè)均不可能，因而相應(yīng)的概率均為0可由對稱性求得再由古典概率計算得：所有計算結(jié)果列表如下：(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律例3.2.2已知(X,Y)的分布律為故關(guān)于

3、X和Y的邊緣分布律分別為：求X、Y的邊緣分布律。YX1011/103/1003/103/10YX10pi·11/103/102/503/103/103/5p·j2/53/5X10P2/53/5Y10P2/53/5解3.2.3邊際密度函數(shù)巳知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)，則X的密度函數(shù)為：Y的密度函數(shù)為：例3.2.3設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為試求：（1）邊緣密度函數(shù)pX(x)和pY(y);（2）P(X<1/2)及P(Y>1/2).由聯(lián)合分布可以求出邊際分布.但由邊際分布一般無法求出聯(lián)合分布.所以聯(lián)合分布包含更多的信息.注意點(1)二維正態(tài)分布的邊際

4、分布是一維正態(tài)：若(X,Y)?N(?1,?2,?12,?22,?)，注意點(2)則X?N(?1,?12)，Y?N(?2,?22).二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.例設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D={(x,y),x2+y2<1}上的均勻分布，求X的邊際密度p(x).解:由題意得xy-11當(dāng)

5、x

6、>1時，p(x,y)=0，所以p(x)=0當(dāng)

7、x

8、≤1時,不是均勻分布練習(xí)1設(shè)二維隨機變量求邊緣密度函數(shù)fX(x)和fY(y)解當(dāng)0

9、機變量中，各分量的取值有時會相互影響。如人的身高X和體重Y.有時各分量的取值互不影響。如：人的身高X和其概統(tǒng)計的學(xué)習(xí)成績。若兩個隨機變量X，Y的取值互不影響，則稱它們是相互獨立的。若滿足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipjiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)則稱X與Y是獨立的，3.2.4隨機變量間的獨立性(1)若離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為注意點(3)X與Y是獨立的其本質(zhì)是：對任意實數(shù)a,b,c,d，有(4)X與Y是獨立的，則g(X)與h(Y)也是獨立的.例3.2.6(X,Y)的聯(lián)合分布列為:X01Y010.30.4

10、0.20.1問X與Y是否獨立？解:邊際分布列分別為:X01P0.70.3Y01P0.50.5因為所以不獨立例3.2.7已知(X,Y)的聯(lián)合密度為問X與Y是否獨立？所以X與Y獨立。注意：p(x,y)可分離變量.解:邊際分布密度分別為:解例3.2.8于是(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為練習(xí)1若二維隨機變量證明X與Y相互獨立的充分必要條件為?=0證(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為邊緣密度函數(shù)為f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要條件是?=0，而X與Y相互獨立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。注意點(1)(1)(X,Y)服從矩形上的均勻分布，則X與Y

11、獨立.(2)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，則X與Y不獨立.(3)聯(lián)合密度p(x,y)的表達式中，若x的取值與y的取值有關(guān)系，則X與Y不獨立.注意點(2)(4)若聯(lián)合密度p(x,y)可分離變量，即p(x,y)=g(x)h(y)則X與Y獨立。(5)若(X,Y)服從二元正態(tài)N(?1,?2,?12,?22,?)則X與Y獨立的充要條件是?=0.習(xí)題1設(shè)袋中有a+b個球，a只紅球，b只白球。今從中任取一球，觀察其顏色后將球放回袋中，并再加入與所取的球相同顏色的球c只，然后再從袋中任取一球，設(shè)求二維隨機變量(X,Y)的分布律。解X的可能取值為0，1，Y的可能取值為0，1。