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《初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程——一元微積分學大學數(shù)學（一）第二講初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念一、基本初等函數(shù)大家在中學就已熟悉它們了！以下六種簡單函數(shù)稱為基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)y=C(C為常數(shù))2.冪函數(shù)y=x?(??R為常數(shù))3.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a?1)4.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a?1)5.三角函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx6.反三角函數(shù)y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotxy=arcsecxy=arcc
2、scx詳情見書二、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合運算而成的函數(shù),稱為初等函數(shù)。例如都是初等函數(shù).一般說來,分段函數(shù)不是初等函數(shù).但有個別分段函數(shù)例外，例如因為它可以改寫為初等函數(shù)的形式.冪指函數(shù)是否為初等函數(shù)？它是由與構成的復合函數(shù),故該冪指函數(shù)是一個初等函數(shù).例解六、雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)學習雙曲函數(shù)時,注意與中學學習過的三角函數(shù)進行比較,找出它們之間有關定義及計算公式的相同處和不同處。1.雙曲函數(shù)的定義及性質雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切雙曲余切雙曲正割雙曲余割雙曲正弦、雙曲余弦的圖形懸鏈線雙
3、曲正弦函數(shù)的定義域為(??,??)雙曲正弦函數(shù)在其定義域內是單調增加的雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)雙曲余弦函數(shù)的定義域為(??,??)雙曲余弦函數(shù)在(??,0)內單調減少在[0,??)內單調增加雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)雙曲正切、雙曲余切的圖形y=cthxy=thx雙曲正切函數(shù)定義域為(??,??)雙曲正切函數(shù)是單調增加的且有界
4、thx
5、?1雙曲正切函數(shù)是奇函數(shù)2.部分公式與三角函數(shù)的公式進行比較(1)反雙曲正弦函數(shù)習慣上寫成x?(??,??)。雙曲正弦函數(shù)y=shx是(??,??)到(??,??)的一一對應,故它的
6、反函數(shù)存在,通過初等的代數(shù)運算可得3.反雙曲函數(shù)(2)反雙曲余弦函數(shù)y?[1,??)。雙曲余弦函數(shù)是到上的映射,但不是一一對應。由解得雙曲余弦的反函數(shù)。這里有兩支,單獨來看,這兩支分別都可作為y?[1,??)通常取y?[1,??)。習慣上記為x?[1,??)。并稱該支反函數(shù)為反雙曲余弦的主支。通常所說的反雙曲余弦函數(shù)即指此主支。的反函數(shù),記為類似于上面的作法,可以得到arthx,arcthx,arsechx,arcschx的表達式.第二章極限本章學習要求：第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列二、數(shù)列極限的定義三、數(shù)
7、列極限的性質四、數(shù)列的收斂準則稱為一個數(shù)列,記為{xn}.1.定義數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一項xn=f(n)稱為數(shù)列的通項或一般項一、數(shù)列數(shù)列也稱為序列介紹幾個數(shù)列xn0242nx1x2……x???????????????……例1…xnx2x1x0x3…??????????01–1x所有的奇數(shù)項所有的偶數(shù)項x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項1xnx3x2x1x0………??????????…3.數(shù)列的性質單調性有界性(1)數(shù)列的單調性單調增加不減少的數(shù)列單調減少的情形怎么定義？單調減
8、少不增加的嚴格單調增加(單調增加)嚴格單調減少(單調減少)單調增加(不減少的)單調減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調數(shù)列數(shù)列(2)數(shù)列的有界性回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學過嗎？數(shù)列的有界性的定義如何定義數(shù)列無界？有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標系中的圖形會是什么樣子？想想：
9、xn
10、11、01–1xx1M3x1xx4x2??????????01xnx3x2x1x0………??????????…xn0242nx1x2……x???????????????……有些數(shù)列雖然無界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.若xn?M,M?R,則稱{xn}有上界.若xn?m,m?R，則稱{xn}有下界.{xn}:有界??既有上界又有下界.一個數(shù)列有界(有上界,有下界),則必有無窮多個界(上界,下界).現(xiàn)在來討論如何定義數(shù)列的無界性：首先看有界性定義的關鍵所在對所有的例3證分析二、數(shù)列的極限001極限描述
12、的是變量的變化趨勢.討論數(shù)列當無限增大時的變化趨勢.容易看出:當無限增大時,x1x3x2n-1x2nx4x2??x0???????((()))*??????????????????????????“n無限增大”記為n??.此時稱數(shù)列當n??時以零為極限,記為：這就是該數(shù)列的變化趨勢的圖上看,從數(shù)列x1x3x2n-1x2nx4x2??x0???????((()))*??????????????????????????一般化表示：n??時,xn
