數(shù)列極限的概念

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1、第二章數(shù)列極限§2.1數(shù)列極限的概念§2.2收斂數(shù)列的性質(zhì)§2.3數(shù)列極限存在的條件§2.1數(shù)列極限的概念一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四、應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法一、概念的引入引例1如何用漸近的方法求圓的面積S？用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1A2A3A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正6?2n-1邊形面積,??????,??????.顯然n越大,An越接近于S.因此,需要考慮當n??時,An的變化趨勢.2、截丈

2、問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數(shù)列的定義例如注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列極限來自實踐，它有豐富的實際背景.我們的祖先很早就對數(shù)列進行了研究，早在戰(zhàn)國時期就有了極限的概念例1戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的《莊子.天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！币簿褪钦f一根一尺長的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以一直無限制的進行下去。將每天截后的木棒排成一列,如圖所示,三、數(shù)列的極限（c11(k)）其長度組成的數(shù)列為,024681000.20.40

3、.60.81隨著n無限的增加,木棒的長度無限的趨近于零。例如當n無限增大時,如果數(shù)列{xn}的一般項xn無限接近于常數(shù)a,則常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂a,記為數(shù)列極限的通俗定義三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限問題:當無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.通過上面演示實驗的

4、觀察:當n無限增大時,xn無限接近于a.?當n無限增大時,

5、xn-a

6、無限接近于0.?當n無限增大時,

7、xn-a

8、可以任意小,要多小就能有多小.?當n增大到一定程度以后,

9、xn-a

10、能小于事先給定的任意小的正數(shù).分析因此,如果n增大到一定程度以后,

11、xn-a

12、能小于事先給定的任意小的正數(shù),則當n無限增大時,xn無限接近于常數(shù)a.當n無限增大時,如果數(shù)列{xn}的一般項xn無限接近于常數(shù)a,則數(shù)列{xn}收斂a.下頁數(shù)列極限的精確定義設(shè){xn}為一數(shù)列?如果存在常數(shù)a?對于任意給定的正數(shù)e?總存在正整數(shù)N?使得當n>

13、N時?不等式

14、xn?a

15、

16、xn?a

17、??.極限定義的簡記形式如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:其中注①定義1習慣上稱為極限的ε—N定義，它用兩個動態(tài)指標ε和N刻畫了極限的實質(zhì)，用

18、xn－a

19、＜ε定量地刻畫了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標志著“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。這個定義有三個要素：10，正數(shù)ε，20，正數(shù)N，

20、30，不等式

21、xn－a

22、＜ε（n＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對固定性。ε的二重性體現(xiàn)了xn逼近a時要經(jīng)歷一個無限的過程（這個無限過程通過ε的任意性來實現(xiàn)），但這個無限過程又要一步步地實現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個有限的變化通過ε的相對固定性來實現(xiàn)）。③定義中的N是一個特定的項數(shù)，與給定的ε有關(guān)。重要的是它的存在性，它是在ε相對固定后才能確定的，且由

23、xn－a

24、＜ε來選定，一般說來，ε越小，N越大，但須注意，對于一個固定的ε，合乎定義要求的N不是唯一的。用定義驗證xn以a為極限時，

25、關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的ε，求出一個相應(yīng)的N，使當n＞N時，不等式

26、xn－a

27、＜ε成立。在證明極限時ε，n，N之間的邏輯關(guān)系如下圖所示

28、xn－a

29、＜εn＞N④定義中的不等式

30、xn－a

31、＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而對則不要求它們一定成立數(shù)列極限的幾何意義使得N項以后的所有項都落在a點的ε鄰域因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個點這就表明數(shù)列xn所對應(yīng)的點列除了前面有限個點外都能凝聚在點a的任意小鄰域內(nèi)，同時也表明數(shù)列xn中的項到一定程度時變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的

32、“收斂”。OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些點在條形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●數(shù)列極限的演示N數(shù)列極限的演示e越來越小，N越來越大！數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：分析:例1證明下頁????0,?N?N??當n?N時?有

33、xn?a

34、??.利用定義驗證數(shù)列極限，有時遇到的不等式

35、xn－a

36、＜ε不易考慮，往往采用把

37、x