極限概念與數(shù)列的極限

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1、極限概念與數(shù)列的極限極限概念與數(shù)列的極限劉海濱極限概念與數(shù)列的極限三國時的劉徽提出的的方法。他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······這樣繼續(xù)分割下去，所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長?！案顖A求周”割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。如果變量X按照某一規(guī)律無限地接近一個常數(shù)C,則稱C為X的極限。記作或極限概念與數(shù)列的極限定性描述limX=CX→ClimX=CX→ClimX=CX→C極限概念與數(shù)列的極限定量分析1項號項這一項與0的差的絕對值12345678

2、……………………定量分析212345678…項號邊數(shù)內(nèi)接多邊形周長241263極限概念與數(shù)列的極限2.5980762113533.0000000000003.1058285412303.132628613281483.139350203047963.1410319508911923.1414524722853843.141557607912……………1x2數(shù)列極限的ε-N定義極限概念與數(shù)列的極限一般地，對于數(shù)列{an}，如果存在一個常數(shù)A，無論預先指定多么小的正數(shù)ε，都能在數(shù)列中找到一項aN，使得這一項后

3、面的所有項與A的差的絕對值都小于ε（即當n>N時，

4、an-A

5、<ε恒成立），就把常數(shù)A叫做數(shù)列{an}的極限，記作an=A?？疾鞌?shù)列的極限：21+（-1)n+1極限概念與數(shù)列的極限1x2已知數(shù)列21+（-1)n+1(1)寫出這個數(shù)列的各項與1的差的絕對值;(2)第幾項后面的所有項與1的差的絕對值都小于0.1?都小于0.001?都小于0.0003?(3)第幾項后面的所有項與1的差的絕對值都小于任何預先指定的正數(shù)ε?(4)1是不是這個數(shù)列的極限?解：（1）這個數(shù)列的各項與1的差的絕對值依次是1，（2）（4）（

6、3）.例1是這個數(shù)列的極限1極限概念與數(shù)列的極限（1）就極限的全過程來說，ε必須具有絕對的任意性。只有這樣，當n>N時，不等式

7、an-A

8、〈ε恒成立，才能表明數(shù)列{an}無限趨近于A。（2）就極限的全過程的某一瞬間來說，ε又是具體給定的。隨著ε取值的越來越小，表明數(shù)列{an}不斷趨近于A的無限過程。（3）數(shù)列{an}的極限是A。an可能比A小，無限趨近于A；無限趨近于A；an也可能時而小于A時而大于A，無限趨近于A…...an也可能比A大，數(shù)列極限定義的說明極限概念與數(shù)列的極限判斷下列命題是否正確（正確的

9、選√，不正確的選×）：(1)對于數(shù)列{an},如果存在常數(shù)A,當正數(shù)ε等于0.1,0.01,0.001時，都能在數(shù)列中找到一項aN，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值都小于ε，則A是數(shù)列{an}的極限………………………….()(2)對于數(shù)列{an},如果存在常數(shù)A,無論預先給定多么小的正數(shù)ε，都能在數(shù)列中找到一項aN，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間（A-ε，A+ε）,則A是數(shù)列{an}的極限..………………….()(3)如果數(shù)列{an}的每一項都是A,那么數(shù)列{an}的極限是A。()(4)在數(shù)列極

10、限的“εN”定義中，N的取值由ε來決定，即一旦ε取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)?！?()(6)若數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為A?！?()(5)如果數(shù)列{an}的極限是A,那么對于預先給定的小正數(shù)ε，在區(qū)間（A-ε，A+ε）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項?！?.()極限概念與數(shù)列的極限判斷下列命題是否正確（正確的選√，不正確的選×）：(1)對于數(shù)列{an},如果存在常數(shù)A,當正數(shù)ε等于0.1,0.01,0.001時，都能

11、在數(shù)列中找到一項aN，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值都小于ε，則A是數(shù)列{an}的極限?！?()(2)對于數(shù)列{an},如果存在常數(shù)A,無論預先給定多么小的正數(shù)ε，都能在數(shù)列中找到一項aN，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間（A-ε，A+ε）,則A是數(shù)列{an}的極限?！?()(3)如果數(shù)列{an}的每一項都是A,那么數(shù)列{an}的極限是A。()(4)在數(shù)列極限的“εN”定義中，N的取值由ε來決定，即一旦ε取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)?！?()(6)若

12、數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為A?！?.()(5)如果數(shù)列{an}的極限是A,那么對于預先給定的小正數(shù)ε，在區(qū)間（A-ε，A+ε）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項?！?.()極限概念與數(shù)列的極限判斷下列命題是否正確（正確的選√，不正確的選×）：(1)對于數(shù)列{an},如果存在常數(shù)A,當正數(shù)ε等于0.1,0.01,0.001時，都能在數(shù)列中找到一項aN，使得這一項