用三角代換法研討兩道競(jìng)賽題

用三角代換法研討兩道競(jìng)賽題

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1、2009年第12期中學(xué)數(shù)學(xué)月刊·43·用三角代換法研討兩道競(jìng)賽題沈家書(shū)(江蘇省徐州高級(jí)中學(xué)221009)2009年江蘇省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初瑟試題中的將此霓瑟題加以推J。,口J得到如卜足理:兩道題分別是:定理1設(shè)戶,q,r,s為正常數(shù),若不等式試題1(第13題)若不等式JE-十√,歹≤+q≤k、F對(duì)任意正實(shí)數(shù)X,Y成立,則k干對(duì)任意正實(shí)數(shù)z,Y成立,求k的取值范圍。七的取值范圍為『√等+譬,+o。).試題2(第9題)設(shè)數(shù)列(n)滿足:口以=證明由題設(shè)不等式兩邊除以√歹,得2口井1—2(n一1,2,?),口2。09一,則此數(shù)列前2009項(xiàng)之和為.——PX%-q≤蠢r’專+s.②

2、本文用三角代換法,深入研討這兩道競(jìng)賽題.令對(duì)于試題l,原標(biāo)準(zhǔn)答案中已給出了三種解v/三y一√tan(o<<號(hào)),法,但沒(méi)有給出用三角法求解的方法,這里巧用三則三=Stanz0,代入②式,得角代換法來(lái)求解,顯得更為簡(jiǎn)潔明快,并能完滿解r決此類問(wèn)題.Stapn+g≤志、,解在題設(shè)不等式兩邊同除以√歹,得+≤_.①化簡(jiǎn)得志≥戶√手·甍+即七≥車sin0%-cos0.令√an(。<<號(hào)),4r4s則吾。1-2,代人①,得~√-Pr-sin0%-qCOS0~--√等+譬sin(+),tan0+1≤k√Z其中由tan一詈√÷(為銳角)確定./t~-。k≥去·+1,易知當(dāng)sin(O%

3、.qo)一1,即0%-t-~,o=號(hào)時(shí),√車·r‘即k≥1sin0%-cos0.√2sin+qsc。s取得最大值為√’,+譬.又√12sin+c。s=√(\√1Z)/2+1。sin(+于是得愚≥√等+譬,II]忌的取值范圍為=sin(+),這里的由tan一(為銳『√等+譬,+。。).角)確定.顯然試題1是定理1的特例(此時(shí)P—g一1,易知當(dāng)sin(+):,即療+號(hào)時(shí),1。r=2,S一1).對(duì)于試題2,筆者感興趣的是:由題設(shè)的遞推sin0%-cos0有最大值.式給定的數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)如何求得?當(dāng)然可以借助于特征方程以及復(fù)數(shù)有關(guān)知識(shí)來(lái)求解,但需于是得≥,即志的取值范圍為要進(jìn)

4、行較為繁雜的運(yùn)算.這里巧用三角代換法來(lái)求解,并由此順利地解決了此類遞推數(shù)列的周期f--Z,+。。).問(wèn)題,并為進(jìn)一推廣命題起了很好的鋪?zhàn)饔茫?4·中學(xué)數(shù)學(xué)月刊2009年第l2期下面用三角代換法來(lái)求通項(xiàng)公式.解由已知的逆推式??谝?n井一2,得(一號(hào)十號(hào))∈z,2a,H-1’①則Ⅱ井=.號(hào)·(tana井+1),代入①,得②令n一一tana+l,a∈f是n耳一號(hào),號(hào)(tana計(jì)+1)一夕一P(tanaq-1’是n+號(hào)),忌n∈z,②.則n井1一tan口1+1.a(chǎn)n+1=,將其代人①,得于是得tanal+12’t~trla,+z==tan(+十)).‘即tana井一擊一l—

5、r1二+tana.因此得井一ln+a”+號(hào),l∈z.tan號(hào)十ta所以一(1l十?+z)+a+,1一tan{ta=tan(a一十詈).其中a由“t一口:號(hào)(tanat十1)確定,即a由由此得口井-:z7c+a+手,z∈z,∈N.2a-tan口1:=:—一p(m∈(一號(hào),號(hào)))確定.所以有a一(1l+?十z,r)7c+a+兀,故一號(hào){taIl[]+1).由上式知數(shù)列{a)為周期數(shù)列,且周期為4。③定理3設(shè)鄉(xiāng)為不等于零的常數(shù),k為正整數(shù)由③得數(shù)列{n}為周期數(shù)列,且周期為4.且是≥3,數(shù)列{a)滿足n計(jì)ln一升1一由題設(shè)n20o9一,即口l—一,且。:口,則口又由③,令,z

6、=1,得口l=tanal+1=,4cos。憊即tan口1一一1,即得OIl一詈.號(hào){tan詈tan[+m]j+1lJ,其中m由所以口=tan[+詈]+tana一(a·∈(一號(hào),號(hào)))確定·定理2設(shè)p為不為零的常數(shù),數(shù)列{a)滿ptan詈足遞推式n抖日一pa.+l一2且口l一口(n≠0,口證明原遞推式可變形為戶≠號(hào),口≠p),則數(shù)列{n)的通項(xiàng)公式為an,4cos。寵n井1===①魯zfltan『L-]+),其中a由ta一n令a號(hào)(an詈tana.+)∈2a-p(a●∈‘。(一號(hào),’號(hào)))確諺鴦定楚·。(志n丌一號(hào),忌n丌+號(hào)),代人①,得證明由題設(shè)的遞推式n井a(chǎn)=什‘4

7、cos。①號(hào)(tan十)戶一號(hào)(tan)號(hào)(tana+1)'a∈變形化簡(jiǎn)得2009年第l2期中學(xué)數(shù)學(xué)月刊·45·又一c。t詈一tan(號(hào)+詈):==tan孕寵tan口l+1一——————.1一tan旱tan口tan(號(hào)+詈一)一tan(詈一號(hào)),即得tanm≠進(jìn)而得tan(詈一號(hào)),于是得m≠詈一號(hào).tan。詈+tan詈tatan-~-tan口l一————,_,由此得,‘1一tantanan≠號(hào){tan詈tan[+詈一號(hào)]+),tan旱+tana[!Iftana~l一—_tan(H+詈)’即口≠號(hào)(-tan詈c。t+),1,2,?,b-t

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