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1、2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試卷（3）姓名__________1.如圖，矩形中，，分別為的中點，與交于點.若陰影部分的面積為，則矩形的面積為__________.2.當時，代數(shù)式的值為__________.3．已知是邊長為的等邊三角形，在和上分別取兩點使得，連接，則和的夾角為__________.4.若是六個不同的正整數(shù)，取值于1、2、3、4、5、6.記，則的最小值為_______.5.在的矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點.則以格點為頂點的等腰直角三角形有______個.6.在直三棱柱中，，.已知
2、與分別為和的中點，與分別為線段和上的動點（不包括端點）.若，則線段的長度的取值范圍為__________.7.定義區(qū)間的長度均為.已知實數(shù),則滿足的構成的區(qū)間長度為__________.8.已知，且，則的最小值是__________.9.函數(shù)定義在上，滿足，且對任意，都有，其中常數(shù)滿足，求的值.10.已知滿足，分別是的三邊．（1）試判斷的形狀，并求的取值范圍；（2）若不等式對任意的都成立，求的取值范圍．11.已知是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值.2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試卷（3）參
3、考答案1.如圖，矩形中，，分別為的中點，與交于點.若陰影部分的面積為，則矩形的面積為__________.【答案】.2.當時，代數(shù)式的值為__________.【答案】.3．已知是邊長為的等邊三角形，在和上分別取兩點使得，連接，則和的夾角為__________.【答案】.4.若是六個不同的正整數(shù)，取值于1、2、3、4、5、6.記，則的最小值為_______.【答案】.5.在的矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點.則以格點為頂點的等腰直角三角形有______個.【答案】.【解析】依次考慮直角邊長取的情形.
4、6.在直三棱柱中，，.已知與分別為和的中點，與分別為線段和上的動點（不包括端點）.若，則線段的長度的取值范圍為__________.【答案】.【解析】以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則（），，，（）.則，.因為，所以，由此推出.又，，從而有.7.定義區(qū)間的長度均為.已知實數(shù),則滿足的構成的區(qū)間長度為__________.【答案】.【解析】原不等式可化為，設，，又的圖象為開口向上的拋物線，故的兩個零點滿足，不等式的解集為，區(qū)間長度為.8.已知，且，則的最小值是__________.【答案】.【解析
5、】由已知得，所以＝.由 當且僅當，即時，取等號， 故當時，有最小值.9.函數(shù)定義在上，滿足，且對任意，都有，其中常數(shù)滿足，求的值.解：因為，，，所以，由此得，而，所以.10.已知滿足，分別是的三邊．（1）試判斷的形狀，并求的取值范圍；（2）若不等式對任意的都成立，求的取值范圍．解：（1）由題意，易知，故是以為直角頂點的直角三角形，∴，，，．（2）在中，．由題意對恒成立，令，由（1）知，則，故，其中，設，則，故在上單調(diào)遞減，，即當時，有最小值，所以的取值范圍為．11．已知是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切
6、于，求面積的最小值．解：設（不妨設），又圓內(nèi)切于，故．設過點的圓的切線斜率為，則其方程為，即，由圓心，半徑得，整理得，，由求根公式得，，設分別與圓切于點，則，故的周長，，當且僅當，即時取等號．由對稱性，當時，面積有最小值．
