推理的理論概述

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1、2.1推理的涵義G·波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》川一書中討論了推理的特征、作用、范例、模式，并且還指出了推理的教學(xué)意義和教學(xué)方法。他是通過對數(shù)學(xué)創(chuàng)造和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等具體思維過程的再現(xiàn)、分析提出了“推理”的思維模式，開辟了一條與傳統(tǒng)的思辨方式截然不同的新途徑;他首先肯定了論證推理在確定數(shù)學(xué)命題的真理性和其科學(xué)體系建構(gòu)中的作用，然后說數(shù)學(xué)與其他學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)知識也是從零散的猜想開始，通過歸納、檢驗(yàn)等非論證的思維方式而發(fā)生發(fā)展，而這種思維方式就是推理。G·波利亞的主要成就是有效地拓寬了數(shù)學(xué)推理的范圍;有關(guān)推理的概

2、念的展開、模式概括和技能訓(xùn)練都是密切結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體思維活動;他的不足之處是對推理的界定比較模糊和不完全。1988年，我國著名數(shù)學(xué)家徐利治指出:“要用G·波利亞的思想改革數(shù)學(xué)教和教學(xué)方法，要培養(yǎng)G·波利亞的數(shù)學(xué)工作者”，從而在我國正式拉開了把數(shù)學(xué)方法論和G·波利亞的數(shù)學(xué)教育思想應(yīng)用于課堂教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)新教育實(shí)踐的序幕。從此，人們逐漸開始探索，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的同時(shí)進(jìn)行推理能力的培養(yǎng)。楊世明的《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)》(30]，是用G·波利亞風(fēng)格寫出的數(shù)學(xué)方法論專著。從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)課本、眾多數(shù)

3、學(xué)家的著作和手稿中采集了豐富的素材，歸納、研究了推理方法，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、解題、教學(xué)和研究中廣泛應(yīng)用的觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、聯(lián)想、猜測、檢驗(yàn)、推廣、限定以及抽象、概括等思維方法進(jìn)行了探討?？梢哉f推理的思想萌芽很早。開拓它，發(fā)展它，使之趨于完善的是G。波利亞。G·波利亞是在與傳統(tǒng)觀念普遍認(rèn)可的演繹推理相對立的意義上引入合情推理的，并力圖將數(shù)學(xué)推理的非演繹機(jī)制盡可能地涵蓋其中。目前，數(shù)學(xué)教育理論對推理的涵義說法眾多，但仔細(xì)探究可分為兩大類。一類從邏輯學(xué)的角度出發(fā)，認(rèn)為推理是根據(jù)已知判斷提出新的判斷的思維

4、式，推理有兩種，論證推理與推理，前者回答如何證明定理的問題，后者回答如何發(fā)現(xiàn)定理的問題，并且認(rèn)為，推理主要包括歸納推理和類比推理。我們把它稱作狹義的推理。另一類從數(shù)學(xué)方法論的角度出發(fā)，不僅把推理看作推理，而且把它看作是科學(xué)的發(fā)現(xiàn)方法。因而，連同歸納、類比在內(nèi)，把觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測、直觀等一系列科學(xué)發(fā)現(xiàn)的手段、方法都?xì)w于推理的范疇。我們把它稱作廣義的合情推理。在以上提及的著作中，對推理的特征有以下幾種闡述:G·波利亞認(rèn)為:推理是一種合乎情理的、好像為真的推理，它的清晰程度不能與論證推理相比，它沒

5、有固定的邏輯標(biāo)準(zhǔn)，并且只是籠統(tǒng)的，通人情的，是與個(gè)人的情緒、愛好、知識等主觀因素有關(guān)的一種推理，所以它是有爭議的、冒風(fēng)險(xiǎn)的、暫時(shí)的，有時(shí)不能像論證推理那樣博得大家的公認(rèn)。基于對有關(guān)推理論述的認(rèn)真思考，本文的觀點(diǎn)是:關(guān)于狹義與廣義推理的劃分，是從不同的角度出發(fā)對推理的認(rèn)識，都是可以接受的，前者給出了推理本來意義上的涵義，后者把它提高到數(shù)學(xué)方法論的高度，擴(kuò)大了推理的涵義。從數(shù)學(xué)教育的角度看，廣義的推理更具有意義。對于推理的特征或定義的表述，雖然G·波利亞只是進(jìn)行了描述，但這種描述卻涵蓋了推理的假定性、

6、創(chuàng)新性和結(jié)果的主觀不確定性。鑒于本文研究初中數(shù)學(xué)教育中推理能力的培養(yǎng)，故贊同從邏輯學(xué)的角度來界定推理，合情推理主要包括歸納推理和類比推理。2.2論證推理與推理的聯(lián)系與區(qū)別G·波利亞認(rèn)為它們之間并不矛盾，相反地，它們是互相補(bǔ)充的。在嚴(yán)格的推理之中，首要的事情是區(qū)別證明與猜測，區(qū)別正確的論證與不一定正確的嘗試。而在推理之中，首要的事情是區(qū)別一種猜測與另一種猜測。如果你把注意力引導(dǎo)到這兩種區(qū)別上來，那么就會對這兩者有更清楚的認(rèn)識。前者的功能是證“實(shí)”，后者的功能既用于“實(shí)”，又用于證“偽”。前者回答如何

7、證明定理的問題，而后者回答如何發(fā)現(xiàn)定理的問題，一般來說，發(fā)現(xiàn)定理的合情推理過程，猜想過程往往與它的論證推理過程相比較，發(fā)現(xiàn)定理的推理、猜想過程是容易被人們忽視的，而且是向策略創(chuàng)造的過程—證明數(shù)學(xué)定理之前，要猜測定理的內(nèi)容，在證明這個(gè)定理之中，先得推測它的證明思路;論證推理是演繹的，可靠的、無可置辯的，也是科學(xué)的和終決的;但是推理則是歸納的，類比的，冒風(fēng)險(xiǎn)的，要經(jīng)過反駁的，有爭議的，也是暫時(shí)的;論證推理本身并不能產(chǎn)生新的知識;但推理卻可以產(chǎn)生心的知識，新的思想與新的理論，甚至連“物理學(xué)家的歸納論證，

8、律師的案情論證，歷史學(xué)家的史料論證和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的統(tǒng)計(jì)論證都屬于推理之列”。論證推理被形式邏輯與論證邏輯所制定的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)所限制，但是推理的標(biāo)準(zhǔn)是不固定的，相當(dāng)靈活的;硬塞給學(xué)生的論證推理是不符合教育學(xué)規(guī)律的，學(xué)生很容易忘記，而推理是不容易忘記的。數(shù)學(xué)被人們看作是一門論證科學(xué)。然而這僅僅是它的一個(gè)方面。以最后確定形式出現(xiàn)的定性的數(shù)學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與其它知識的創(chuàng)造過程一樣的。你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明;但是這個(gè)