數(shù)理邏輯-謂詞邏輯1

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1、第一章數(shù)理邏輯MathematicsLogic1.6~1.8謂詞邏輯PredicateLogic問題的提出：(命題邏輯的局限性)例：蘇格拉底論斷前提“所有的人總是要死的”“蘇格拉底是人”結(jié)論“所以蘇格拉底是要死的”命題邏輯中原子命題不可再分PQRP∧Q?R不是有效推理例Ｐ1：小張是大學(xué)生Ｐ2：小李是大學(xué)生Q1：2大于3Q2：6大于4命題邏輯無法反映不同原子命題間的內(nèi)在共性解決問題的方法分析原子命題，分離其主語(yǔ)和謂語(yǔ)考慮一般和個(gè)別，全稱和存在1.6謂詞和量詞1.6.1謂詞謂詞的概念和表示在原子命題中，用來刻劃一個(gè)個(gè)

2、體的性質(zhì)或個(gè)體之間關(guān)系的成分稱為謂詞，刻劃一個(gè)個(gè)體性質(zhì)的詞稱為一元謂詞；刻劃n個(gè)個(gè)體之間關(guān)系的詞稱為n元謂詞常用大寫英文字母表示個(gè)體能夠獨(dú)立存在的事物通常用小寫英文字母a、b、c、...表示個(gè)體常量用小寫英文字母x、y、z...表示任何個(gè)體，則稱這些字母為個(gè)體變?cè)?(a)5是質(zhì)數(shù)(b)張明生于北京(c)7=3×2F(x)：x是質(zhì)數(shù)G(x,y)：x生于y，a：張明，b：北京H(x,y,z)：x=y×zF(5)G(a,b)H(7,3,2)謂詞個(gè)體詞謂詞命名式(謂詞填式)變?cè)拇涡蚝苤匾^詞常元一個(gè)字母代表一特定謂詞

3、,例如F代表“是質(zhì)數(shù)”,則稱此字母為謂詞常元謂詞變?cè)糇帜复砣我庵^詞,則稱此字母為謂詞變?cè)撚騻€(gè)體域謂詞命名式中個(gè)體變?cè)娜≈捣秶占荒茏鳛檎撚蛎}函數(shù)謂詞命名式不是命題若謂詞是常元個(gè)體詞是常元謂詞命名式才成為一個(gè)命題謂詞函數(shù)由一個(gè)謂詞和若干個(gè)個(gè)體變?cè)M成的命題形式稱為簡(jiǎn)單命題函數(shù)，表示為P(x1,x2,…,xn)。由一個(gè)或若干個(gè)簡(jiǎn)單命題函數(shù)以及邏輯聯(lián)結(jié)詞組成的命題形式稱為復(fù)合命題函數(shù)n=0時(shí)命題變?cè)鼳(x)：x身體好B(x)：x學(xué)習(xí)好C(x)：x工作好如果x身體不好，則x的學(xué)習(xí)與工作都不會(huì)好復(fù)合命題函數(shù)?

4、A(x)→(?B(x)∧?C(x))1.6.2量詞例“所有的正整數(shù)都是素?cái)?shù)”“有些正整數(shù)是素?cái)?shù)”假設(shè)只有兩個(gè)正整數(shù)a和b個(gè)體域?yàn)閧a,b}P(x)：x是素?cái)?shù)P(a)∧P(b)P(a)∨P(b)全稱量詞記作?表示“每個(gè)”、“任何一個(gè)”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等?x讀作“任意x”，“所有x”，“對(duì)一切x”量詞后邊的個(gè)體變?cè)?，指明?duì)哪個(gè)個(gè)體變?cè)炕?，稱為量詞后的指導(dǎo)變?cè)腥硕际且赖腄(x)：x是要死的個(gè)體域：所有人構(gòu)成的集合?xD(x)存在量詞記作?表示“有些”、“一些”、“某些”、“至少一個(gè)

5、”等?x讀作“存在x”，“對(duì)某些x”或“至少有一x”指導(dǎo)變?cè)行┯欣頂?shù)是整數(shù)Ｉ(x)：x是整數(shù)個(gè)體域：有理數(shù)集合?xＩ(x)全總個(gè)體域（全總域）含有量詞的命題的真值與論域有關(guān)含有量詞的命題的表達(dá)式的形式與論域有關(guān)全總個(gè)體域宇宙間所有的個(gè)體聚集在一起所構(gòu)成的集合約定除特殊說明外，均使用全總個(gè)體域?qū)€(gè)體變化的真正取值范圍，用特性謂詞加以限制例所有的人都是要死的有的人活百歲以上D(x)：x是要死的G(x)：x活百歲以上個(gè)體域E為全體人組成的集合?xD(x)?xG(x)全總個(gè)體域引入特性謂詞M(x)：x是人?x(M(x

6、)?D(x))?x(M(x)∧G(x))特性謂詞添加規(guī)則對(duì)全稱量詞,特性謂詞作為條件式之前件加入對(duì)存在量詞,特性謂詞作為合取項(xiàng)而加入例(a)沒有不犯錯(cuò)誤的人F(x)：x犯錯(cuò)誤M(x)：x是人??x(M(x)∧?F(x))(b)凡是實(shí)數(shù),不是大于零就是等于零或小于零R(x)：x是實(shí)數(shù)L(x,y)：x＞yE(x,y)：x=yS(x,y)：x＜y?x(R(x)?L(x,0)∨E(x,0)∨S(x,0))1.6.3量化斷言和命題的關(guān)系假設(shè)論域有限,不妨設(shè)論域D={1,2,3}?xP(x)?？?xP(x)?P(1)∧P(2

7、)∧P(3)?xP(x)?？?xP(x)?P(1)∨P(2)∨P(3)若論域無限可數(shù)，概念可以推廣1.6.4謂詞公式個(gè)體函數(shù)（函詞）例小王比他的父親高T(x，y)：x比y高a：小王b：小王的父親T(a，b)無法顯示個(gè)體之間的依賴關(guān)系定義函數(shù)f(x)=x的父親T(a，f(a))函詞與謂詞的區(qū)別函詞中的個(gè)體變?cè)脗€(gè)體帶入后的結(jié)果依然是個(gè)體f(a)=小王的父親謂詞中的個(gè)體變?cè)么_定的個(gè)體帶入后就變成了命題M(x)：x是人M(a)：小王是人函詞是論域到論域的映射f:D→D謂詞是從論域到{T,F}的映射M:D→{T,F}項(xiàng)

8、和原子公式項(xiàng)(item)表示個(gè)體定義個(gè)體常量是項(xiàng)個(gè)體變?cè)琼?xiàng)如果f是一個(gè)n(n≥1)元函詞，其t1,t2,…,tn都是項(xiàng)，則f(t1,t2,…,tn)是項(xiàng)例a,b,cx,y,zf(x),g(a,f(y))原子公式(atom)定義若P是一個(gè)n元謂詞，且t1,t2,…,tn是項(xiàng)，則P(t1,t2,…,tn)是原子命題詞也是原子(n=0)例P,Q(x),A(x,f(x)),B(