固體能帶理論-總結

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1、第7-8章能帶小結2復雜的多體問題大量離子和電子彼此相互作用組成系統(tǒng)簡化絕熱近似認為離子與電子不交換能量多電子問題單電子問題量子力學處理晶體中電子問題的思路簡化自洽場法考慮其余電子的平均場作用多粒子系統(tǒng)多電子系統(tǒng)單電子系統(tǒng)即：每個電子在由正離子產(chǎn)生的和其他電子的平均電荷分布的勢場中運動.1.絕熱近似：由于原子核質量比電子的質量大得多，電子的運動速度遠大于原子核的運動速度，即原子核的運動跟不上電子的運動。所以在考慮電子的運動時，認為原子實不動。2.單電子近似：一個電子在離子實和其它電子所形成的勢場中運動。又稱hartree-Fock自洽場近似。能帶

2、理論基本假設3.周期場近似：單電子近似的結果：周期性勢場（周期為一個晶格常數(shù)，平移對稱性）Schrodingereq.Bloch波:在周期性勢場中運動的電子氣波函數(shù)由如下形式：其中u具有晶格的周期性，即原子實和電子所形成的勢場是周期性的。布洛赫定理在晶格周期性勢場中運動的電子的波函數(shù)是按晶格周期調幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。布洛赫波函數(shù)具有如下特點：在此范圍內k共有N個值(N為晶體原胞數(shù))。由Bloch定理可得兩個重要結論：〈1〉Bloch定理表明周期勢場中電子的本征函數(shù)有Bloch函數(shù)的形式，是一個被周期勢場調幅了的平面波，

3、平面波的振幅具有周期勢場的周期性，這與自由電子的波函數(shù)不同，自由電子的波函數(shù)是一個平面波。2〉Bloch波函數(shù)是周期勢場中電子的本征函數(shù)，這個波在晶體空間是自由（均勻）傳播的，既不隨時間和空間而衰減，也不會在傳播過程中突然改變形態(tài)，即不會由一個Bloch波變成另一個Bloch波。晶體中電子：自由電子：孤立原子：如果晶體中電子的運動完全自由，在晶體中運動電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合。由于晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個原子周圍，因此，其波函數(shù)就具有的形式。周期函數(shù)反映了電子與晶格相互作用的強弱。若電子完

4、全被束縛在某個原子周圍，Bloch函數(shù)中，行進波因子描述晶體中電子的共有化運動，即電子可以在整個晶體中運動；而周期函數(shù)因子則描述電子的原子內運動，取決于原子內電子的勢場。如果電子只有原子內運動（孤立原子情況），電子的能量取分立的能級；晶體中的電子既有共有化運動也有原子內運動，因此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶結構。若電子只有共有化運動（自由電子情況），電子的能量連續(xù)取值（嚴格講電子能量應是準連續(xù)的）。電子能帶的形成是由于當原子與原子結合成固體時，原子之間存在相互作用的結果，而并不取決于原子聚集在一起是晶態(tài)還是非晶

5、態(tài)，即原子的排列是否具有平移對稱性并不是形成能帶的必要條件。需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢場中推導出來的。但是，周期性勢場并不是電子具有能帶結構的必要條件，在非晶固體中，電子同樣有能帶結構。1.模型：假定周期場起伏較小，而電子的平均動能比其勢能的絕對值大得多。作為零級近似，用勢能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作為微擾來處理。近自由電子近似2.勢場:。3.波函數(shù)和能量(1)在k=n?/a處(布里淵區(qū)邊界上），電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為；(2)在k=n?/a附近，能帶底部電子能量與波矢的關系是向上彎曲的拋物線

6、，能帶頂部是向下彎曲的拋物線；(3)在k遠離n?/a處，電子的能量與自由電子的能量相近。利用以上特點，可以畫出近自由電子近似的能帶圖。4.結論:Ek’(0)Ek(0)E－E＋TnTn由于周期場的微擾，E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)邊界k=?n?/a處出現(xiàn)不連續(xù)，能量的突變?yōu)椋悍Q為能隙，即禁帶寬度，這是周期場作用的結果。電子能帶的三種圖示法(a)擴展區(qū)圖：在不同的布里淵區(qū)畫出不同的能帶；(b)簡約區(qū)圖：將不同能帶平移適當?shù)牡垢袷高M入到第一布里淵區(qū)內表示(在簡約布里淵區(qū)內畫出所有能帶)；(c)周期區(qū)圖：在每一個布里淵區(qū)周期性地畫出所有能帶(強調任一特定的波矢

7、k的能量可以用和它相差Kh的波矢來描述)。每個布里淵區(qū)中波矢k可取N個值，而能帶序號越小，能帶寬度越小，故能帶序號越小，能態(tài)密度越大。5.能帶圖晶體中的電子在某個原子附近時主要受該原子勢場的作用，其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級近似。2.勢場緊束縛近似1.模型3.波函數(shù)4.能量表達式：5.能帶寬度：從上式可以得到所謂的中心方程因此用一組代數(shù)方程取代了原來的微分方程。該方程組的方程數(shù)目巨大，看起來難以求解，但實際上常常只要解少數(shù)幾個就足夠了將波函數(shù)和勢函數(shù)的傅里葉展開式代入波動方程，得中心方程能隙的起因能隙的起因對于一維

8、點陣（點陣常數(shù)為a），電子的波函數(shù)若k遠離Bz邊界時（即時），電子波不受Bragg反射，從各原子散射的波沒有確定的位相關系，對入射波的傳