固體能帶理論綜述

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1、固體能帶理論綜述摘要本文綜述了固體能帶理論中的布洛赫定理、一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似、包絡(luò)函數(shù)模型(平面波展開方法)等基本理論。還介紹了采用了包絡(luò)函數(shù)法和近自由電子近似法來(lái)計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)。可以看出，采用包絡(luò)函數(shù)方法外推勢(shì)能分布為體材料的勢(shì)能分布時(shí)得到能帶結(jié)構(gòu)與利用準(zhǔn)自由電子近似的方法得到的結(jié)果一致；另外，外推勢(shì)能分布近似成為有限深勢(shì)阱時(shí)與用超越方程得到的結(jié)果相吻合。而采用近自由電子近似方法在外推勢(shì)能分布為量子阱的勢(shì)能分布時(shí)與直接采用近自由電子近似來(lái)處理小帶階的量子阱的結(jié)果一致。關(guān)鍵詞：能帶理論包絡(luò)函數(shù)近自由電子近似

2、1引言能帶理論[1]是研究固體中電子運(yùn)動(dòng)的一個(gè)主要理論基礎(chǔ)。在二十世紀(jì)二十年代末和三十年代初期，在量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律確定以后，它是在用量子力學(xué)研究金屬電導(dǎo)理論的過(guò)程中開展起來(lái)的。最初的成就在于定性地闡明了晶體中電子運(yùn)動(dòng)的普遍性的特點(diǎn)。例如，在這個(gè)理論基礎(chǔ)上，說(shuō)明了固體為什么會(huì)有導(dǎo)體、非導(dǎo)體的區(qū)別；晶體中電子的平均自由程為什么會(huì)遠(yuǎn)大于原子的間距等。在這個(gè)時(shí)候半導(dǎo)體開始在技術(shù)上應(yīng)用，能帶理論正好提供了分析半導(dǎo)體理論問題的基礎(chǔ)，有利地推動(dòng)了半導(dǎo)體技術(shù)的發(fā)展。后來(lái)由于電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展使能帶論的研究從定性的普遍規(guī)律到對(duì)具體材料復(fù)雜能帶的

3、結(jié)構(gòu)計(jì)算。到目前，計(jì)算材料能帶結(jié)構(gòu)的方法有:近自由電子近似法、包絡(luò)函數(shù)法(平面波展開法)[2，9，10，13]、贗勢(shì)法[3，6]、緊束縛近似——原子軌道線性組合法[4，5，7，8，11]、K.P方法[12]。人們用這些方法對(duì)量子阱[2，8，9，10]。量子線[11，12，13]、量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)[16，17]的材料進(jìn)行了計(jì)算和分析，并取得了較好計(jì)算結(jié)果。使得對(duì)這些結(jié)構(gòu)的器件的設(shè)計(jì)有所依據(jù)。并對(duì)一些器件的特性進(jìn)行了合理的解釋。固體能帶論指出，由于周期排列的庫(kù)侖勢(shì)場(chǎng)的耦合，半導(dǎo)體中的價(jià)電子狀態(tài)分為導(dǎo)帶與價(jià)帶，二者又以中間的禁帶(帶隙)

4、分隔開。從半導(dǎo)體的能帶理論出發(fā)引出了非常重要的空穴的概念，半導(dǎo)體中電子或光電子效應(yīng)最直接地由導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂?shù)碾娮印⒖昭ㄐ袨樗鶝Q定，由此提出的P-N結(jié)及其理論己成為當(dāng)今微電子發(fā)展的物理依據(jù)。半導(dǎo)體能帶結(jié)構(gòu)的具體形態(tài)與晶格結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性和價(jià)鍵特性密切相關(guān)，不同的材料〔如Si,Ge與GaAs,InP)能帶結(jié)構(gòu)各異，除帶隙寬度外、導(dǎo)帶底價(jià)帶頂在k空間的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的導(dǎo)帶底價(jià)帶頂同處于k空間的中心位置，稱為直接帶隙材料，此結(jié)構(gòu)電子-空穴的帶間復(fù)合幾率很大，并以輻射光子的形態(tài)釋放能量，由此引導(dǎo)人們研制了高效率的

5、發(fā)光二極管和半導(dǎo)體激光器，在光電子及光子集成技術(shù)的發(fā)展中，其重要性可與微電子技術(shù)中的晶體管相比擬。第7頁(yè)共7頁(yè)2布洛赫定理[1]能帶理論的出發(fā)點(diǎn)是固體中的電子不再束縛于個(gè)別的原子，而是在整個(gè)固體內(nèi)運(yùn)動(dòng)，稱為共有化電子，在討論共有化電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)假定原子實(shí)處在其平衡位置，而把原子實(shí)偏離平衡位置的影響看成微擾，對(duì)于理想晶體，原子規(guī)則排列成晶體，晶格具有周期性，因而等效勢(shì)場(chǎng)V(r)也應(yīng)具有周期性。晶體中的電子就是在一個(gè)具有晶格周期性的等效勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)方程為:（1）且有（2）Rn為任一晶格矢量。布洛赫定理指出，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)具有晶格

6、周期性時(shí),波動(dòng)方程的解Ψ具有如下性質(zhì)：（3）其中K為波矢量，（3）式表示當(dāng)平移晶格矢量Rn時(shí)，波函數(shù)只增加位相因子eik·Rn。（3）式就是布洛赫定理。根據(jù)定理可以把波函數(shù)寫成（4）其中u(r)具有與晶格同樣的周期性，既（5）（4)式表達(dá)的波函數(shù)稱為布洛赫函數(shù)，它是平面波與周期函數(shù)的乘積。3一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似[1，19]這是一個(gè)一維的模型，通過(guò)這個(gè)模型的討論，可以進(jìn)一步了解在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子本征態(tài)一些最基本的特點(diǎn)。圖1中畫出了一維周期場(chǎng)的示意圖。所謂近自由電子近似是假定周期場(chǎng)的起伏比較小，作為零級(jí)近似，可

7、以用勢(shì)場(chǎng)的平均值代替V(x)。把周期起伏[V(X)-〕做為微擾來(lái)處理。第7頁(yè)共7頁(yè)圖1一維周期場(chǎng)零級(jí)近似的波動(dòng)方程為（6）它的解便是恒定場(chǎng)中自由粒子的解（7）上式在歸一化因子中引入晶格長(zhǎng)度L=Na，為原胞的數(shù)目，a是晶格常數(shù)(原子間距)。引入周期性邊界條件可以得到k只能取下列值（8）很容易驗(yàn)證波函數(shù)滿足正交歸一化條件。（9）由于零級(jí)近似下的解為自由電子，所以稱為近自由電子近似。按照一般微擾理論的結(jié)果，本征值的一級(jí)和二級(jí)修正為（10）（11）波函數(shù)的一級(jí)修正為（12）其中微擾項(xiàng)具體寫出為第7頁(yè)共7頁(yè)其中前一項(xiàng)，按定義就等于平均

8、勢(shì)場(chǎng)，因此能量的一級(jí)修正為0?！ず投夹枰?jì)算矩陣元，由于k，和k兩態(tài)之間的正交關(guān)系現(xiàn)在我們證明，由于V(x)的周期性，上述矩陣元服從嚴(yán)格的選擇定則。將按原胞劃分寫成對(duì)不同的原胞n，引入積分變數(shù)并考慮到V(x)的周期性就可以把前式（12）寫成（13）現(xiàn)在區(qū)分兩種情況:（1），即k，和k相差，