坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換

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1、1.不同空間直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換不同空間直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換有三種模型，即布爾莎模型、范士模型、莫洛金斯基模型轉(zhuǎn)換參數(shù)包括三個(gè)平移參數(shù)、三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)與一個(gè)尺度參數(shù)。對(duì)于坐標(biāo)換算而言等價(jià)，推導(dǎo)布爾莎公式如下：如圖所示，P在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)XT＝⊿X0＋(1＋dK)R(e)X（1）式中XT——P在坐標(biāo)系，OT—XTYTZT中的坐標(biāo)向量X——P在坐標(biāo)系O—XYZ中的坐標(biāo)向量⊿X0——原點(diǎn)平移向量，⊿X0＝(⊿X⊿Y⊿Z)TdK——尺度變化系數(shù)，R(e)——旋轉(zhuǎn)矩陣當(dāng)已知轉(zhuǎn)換參數(shù)⊿X0、dK、R(e)時(shí)，可按上式將Pi點(diǎn)的X坐標(biāo)系坐標(biāo)換

2、算為XT坐標(biāo)系的坐標(biāo)。按最小二乘原則求解轉(zhuǎn)換參數(shù)⊿X0、dK、R(e)如下。因旋轉(zhuǎn)角e很小，有sine=e和cose=1，若忽略e二階微小量，則旋轉(zhuǎn)陣代入（10-28）式，忽略二階微小量dKQXi得XTi＝⊿X0＋R(e)dKXi＋R(e)Xi＝⊿X0＋(E＋Q)dKXi＋(E＋Q)Xi＝⊿X0＋dKXi＋Xi＋QXi顧及則（1）式為（此即用于兩空間直角坐標(biāo)系相互變換的布爾莎七參數(shù)公式）若上式中eX＝eY＝0，eZ≠0，則上式為五參數(shù)轉(zhuǎn)換模型。若再有eZ＝0，則上式為四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型。若尺度比參數(shù)亦為零，則得三參數(shù)轉(zhuǎn)換模型三參數(shù)轉(zhuǎn)換

3、公式是在假設(shè)兩坐標(biāo)系間各坐標(biāo)軸相互平行，即軸系間不存在歐勒角的條件下導(dǎo)出的，這在實(shí)際情況中往往是不可能的。在歐勒角不大，求得歐勒角誤差和歐勒角本身數(shù)值屬同一數(shù)量級(jí)時(shí)，可以近似地這樣處置。此種情況在國(guó)內(nèi)外一些坐標(biāo)換算中屢見(jiàn)不鮮，如北美坐標(biāo)系相對(duì)于地心坐標(biāo)系的三參數(shù)是X0=-22m，Y0＝157m，Z0=176；歐洲坐標(biāo)系相對(duì)于地心坐標(biāo)系的三參數(shù)是X0＝-84m，Y0＝-103m，Z0＝-127m等。我國(guó)地心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)（DX-1）也屬三個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)。當(dāng)根據(jù)多個(gè)公共點(diǎn)按最小二乘法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)，對(duì)每個(gè)點(diǎn)有觀測(cè)方程設(shè)則誤差方程法方程單位

4、權(quán)方差不同空間大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換對(duì)于不同大地坐標(biāo)系的換算，除包含三個(gè)平移參數(shù)、三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和一個(gè)尺度變化參數(shù)外，還包括兩個(gè)地球橢球元素變化參數(shù)，以下推導(dǎo)不同大地坐標(biāo)系的換算公式由式取全微分得式中（1）上式兩端乘以并加以整理得：(2)式中顧及（1）式及（2）式可寫(xiě)為：(3)上式通常稱為廣義大地坐標(biāo)微分公式或廣義變換橢球微分公式。如略去旋轉(zhuǎn)參數(shù)和尺度變化參數(shù)的影響，即簡(jiǎn)化為一般的大地坐標(biāo)微分公式。根據(jù)3個(gè)以上公共點(diǎn)的兩套大地坐標(biāo)值，可列出9個(gè)以上(10-24)式的方程，可按最小二乘法求得8個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)。2.空間直角坐標(biāo)與空間大地坐標(biāo)的

5、轉(zhuǎn)換圖２－６表示了空間直角坐標(biāo)系與空間大地坐標(biāo)系之間的關(guān)系。圖2-6　地球空間直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系在相同的基準(zhǔn)下空間大地坐標(biāo)系向空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為：(2-1)式中，　，為橢球的長(zhǎng)半軸，為橢球的卯酉圈曲率半徑=6378.137km，為橢球的第一偏心率，為橢球的短半軸=6356.7523141km在相同的基準(zhǔn)下空間直角坐標(biāo)系向空間大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為式中2.3不同平面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換眾所周知，坐標(biāo)系之間的差異主要取決于定位與定向、橢球參數(shù)以及坐標(biāo)系的尺度定義。從原理上講，嚴(yán)密方法是將舊網(wǎng)的全部觀測(cè)資料重新歸算到新坐標(biāo)系中，重新平

6、差計(jì)算出各點(diǎn)的新坐標(biāo)。對(duì)于二維轉(zhuǎn)換模型，參數(shù)的選取依賴于工程項(xiàng)目的需要，在大多數(shù)的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換應(yīng)用中，常常使用四參數(shù)模型、直接參數(shù)法、六參數(shù)模型等。四參數(shù)模型四參數(shù)模型是從布爾莎公式演化而來(lái)的，其計(jì)算公式為:（1）式中，△x、△y、、θ、m分別為平面上的平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)。不難看出，要求出4個(gè)參數(shù)至少需要2個(gè)已知公共點(diǎn)。當(dāng)有2個(gè)以上轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)時(shí)，將此模型轉(zhuǎn)換為線性模型用最小二乘求解：（2）式中,a=?x，b=?y，c=mcosθ,d=msinθ，m=a2+b2對(duì)于n個(gè)公共點(diǎn)可列如下誤差方程:設(shè)所有轉(zhuǎn)換點(diǎn)帶有誤差的觀測(cè)值等權(quán)，則由

7、式(3)的誤差方程，通過(guò)間接平差法求得轉(zhuǎn)換參數(shù)向量x的最小二乘解為：x=BTPB-1BTPL（其中P為單位權(quán)），從而求出a、b、c、d。則平移參數(shù)為?x=a，?y=b，再用以下兩式計(jì)算旋轉(zhuǎn)參數(shù)θ和尺度因子m：θ=a2+b2，m=arctan(-c/d)直接參數(shù)法直接參數(shù)法就是利用兩套坐標(biāo)系兩個(gè)已知公共點(diǎn)的坐標(biāo)（X1,Y1）、（X2,Y2）、（x1,y1）、（x2,y2）求出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平移參數(shù)、尺度因子、旋轉(zhuǎn)參數(shù)。數(shù)學(xué)模型?X?Y=X2Y2-X1Y1，?x?y=x2y2-x1y1S=?X2+?Y2,s=?x2+?y2,A=在此處鍵入公

8、式。,?=平移參數(shù)(Dx)Dy=X1Y1-x1y1,尺度因子m=S-sS，旋轉(zhuǎn)參數(shù)θ=A-?則其他點(diǎn)（Xi,Yi）的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：?Xi?Yi=XiYi-X1Y1?Xi?Yi=(1+m)cosθsinθ-sinθcosθ?Xi?Yixiyi=X1