2013有限元單元?jiǎng)偠染仃?10-27講課用

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1、6/14/2013第二章平面問題的有限元法16/14/20132-1離散化2-2平面問題的常應(yīng)變(三角形)單元2-3單元?jiǎng)偠染仃?-4單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)2-5單元載荷移置2-6整體分析2-7整體剛度矩陣的形成整體剛度矩陣的特點(diǎn)2-8支承條件的處理26/14/20132.1離散化圖3-1′彈性力學(xué)平面問題的有限單元法包括五個(gè)主要步驟：′1、所分析問題的數(shù)學(xué)建模2、離散化3、單元分析4、整體分析與求解5、結(jié)果分析36/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)

2、體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。對(duì)于平面問題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是三角形單元。因平面問題的變形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點(diǎn)都可視為平面鉸，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。單元與單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，作用在連續(xù)體荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上，成為節(jié)點(diǎn)荷載。如節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處，就在該節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。46/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元1、位移函數(shù)如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應(yīng)變分量，再從物理方程求應(yīng)力分量。但對(duì)一個(gè)連續(xù)體，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。有限單

3、元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格，在每一個(gè)單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。對(duì)每個(gè)單元，可以假定一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個(gè)函數(shù)稱為位移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場(chǎng)。對(duì)于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示，22uaaxayaxaxyay=++++++...12345622vbbxbybxbxyby=++++++...123456多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。56/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元

4、六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系三結(jié)點(diǎn)三角形單元數(shù)，所以平面問題的3節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下，ux=++αααy?123?v=++αααxy456?該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移設(shè)定為坐標(biāo)的線性函數(shù)，該位移模式很簡(jiǎn)單。其中α~α為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，16可據(jù)節(jié)點(diǎn)i、j、m的位移值和坐標(biāo)值求出。?a1???a?2????ux10y00???a??3位移函數(shù)寫成矩陣形式為：{}δ==?????????vx0001y??a4??a?5?????a6?66/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元1xyii最終確定六個(gè)待定系數(shù)其中21A=

5、xyjj?α1????aaauijmi?1xymm???1????α??=bbbu?2??ijmj???2A??cccu?a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)只是記號(hào)，表α??3??ijmm??示此方陣僅與x(i,j,m),y(i,j,m)有?α????aaav?4ijmi關(guān)。???1???axyxyij=mm?j?α??=bbbv?5??ijmj2Abyy=?i,j,m輪換??????ijmαcccv??6??ijmm??cxx=?imj為2A第1行各個(gè)元素的代數(shù)余子式，1ua=+[(bx++cy)u(a+bx++cy)u(a+bx

6、+cy)]uiiiijjjjmmmm2A1va=+[(bx++cy)vabxc(+++y)vabxc(++y)]viiiijjjjmmmm2A76/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元1令Naii=+()bix+ciy（下標(biāo)i，j，m輪換）?ui?2A??v?i???u??NNN000??u??ijmj{}δ==??????v000NNNv????ijm?j??u?m?δi???e?????vm?簡(jiǎn)寫為{}δ==[]NI{}δδ????NijmjININ????δ?ui???m??v???i?δi[I]是單位矩陣，e?????uj?{}

7、δδ==????j[N]稱為形函數(shù)矩陣，v????jδ??m??N只與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，稱為單元uim??的形狀函數(shù)???vm?82-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元′據(jù)彈性力學(xué)幾何方程得單元的應(yīng)變分量???u??εα???x??x2??????==?v=εε?????α?y?y6??????γ??αα+??xy????uv+35????yx′由于三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應(yīng)變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚?/14/201392-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元2、形函數(shù)

8、的特點(diǎn)及性質(zhì)1)形函數(shù)N為x、y坐標(biāo)的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。i2)形函數(shù)Ni在i節(jié)點(diǎn)處的值等于1，而