3.分式方程的解法及應(yīng)用

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1、分式方程的解法及應(yīng)用要點一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.要點二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增

2、根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，

3、分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根.要點詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.要點四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.步驟進行：【典型例題】類型一、判別分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（）．A．B．C

4、．D．，（，為非零常數(shù)）【答案】B；【解析】A、C兩項中的方程盡管有分母，但分母都是常數(shù)；D項中的方程盡管含有分母，但分母中不含未知數(shù)，由定義知這三個方程都不是分式方程，只有B項中的方程符合分式方程的定義．【總結(jié)升華】要判斷一個方程是否為分式方程，就看其有無分母，并且分母中是否含有未知數(shù)．類型二、解分式方程2、解分式方程（1）；（2）．解：（1）解方程，得．（2解這個方程，得．【總結(jié)升華】將分式方程化為整式方程時，乘最簡公分母時應(yīng)乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數(shù)項．特別提醒：解分式方程時，一定要檢驗方程的根．舉一反三：【變式】解方程：．【答案】解：，方程兩邊都乘，得，解這個方程，得

5、，檢驗：當時，，∴是增根，∴原方程無解．類型三、分式方程的增根3、為何值時，關(guān)于的方程會產(chǎn)生增根？【思路點撥】若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出的值．【答案與解析】解：方程兩邊同乘約去分母，得．整理得．∵原方程有增根，∴，即或．把代入，解得．把代入，解得．所以當或時，方程會產(chǎn)生增根．【總結(jié)升華】處理這類問題時，通常先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再將求出的增根代入整式方程，即可求解．舉一反三：【變式】4如果方程有增根，那么增根是________．【答案】；提示：因為增根是使分式的分母為零的根，由分母或可得．所以增根是．類型三、分式方程的增根5、（1）若

6、分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【思路點撥】（1）若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出的值．（2）將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后，把代入解出的值.【答案與解析】解：（1）方程兩邊同乘，得．∴．∴．由題意知增根為或，∴或．∴或．（2）方程兩邊同乘，得．∴．∴．∵增根為，∴．∴．【總結(jié)升華】(1)在方程變形中，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根做作原方程的增根．在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；(2)這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值．舉一反三：【變式】6.已知關(guān)于的方程無解

7、，求的值．【答案】解：方程兩邊同乘約去分母，得，即．①∵，即時原方程無解，∴，∴．②∵當時，整式方程無解，∴當時，原方程無解．綜上所述，當或時，原方程無解．7.已知關(guān)于的方程有一個正數(shù)解，求的取值范圍．解：方程兩邊同乘約去分母，得．整理，得．∵∴解得且，∴當且時，原方程有一個正數(shù)解．類型四、分式方程的應(yīng)用8、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等．求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹