3隨機向量及其分布

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1、第3章隨機向量及其分布§1.隨機向量及其聯(lián)合分布1.隨機向量定義1若隨機變量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定義在同一個概率空間(?,F,P)上，則稱X(?)=(X1(?),X2(?),…,Xn(?)),???為n維隨機向量或n維隨機變量.顯然，對xi?R,有{?

2、Xi(?)≤xi}?F(i=1,2,?,n),于是n{X1(?)≤x1,…,Xn(?)≤xn}=?{Xi(?)?xi?}F.i?12.聯(lián)合分布函數(shù)定義2?x1,x2,…,xn?R,稱n元函數(shù)F(x)=F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn},x=(x1,x2,…,xn)?Rn

3、為n維隨機向量(X1,X2,…,Xn)的(聯(lián)合)分布函數(shù).y(x,y)?2維隨機向量:F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}x0聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)滿足(1)(非負性)P{x1

4、(4)(右連續(xù)性)F(x,y)關(guān)于x和y是右連續(xù)的.即?(x0,y0)：F(x0+0,y0)=F(x0,y0)，F(xiàn)(x0,y0+0)=F(x0,y0).可以證明：滿足非負性、單調(diào)性、有界性和右連續(xù)性的函數(shù)F(x,y)亦是某個二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù).3.聯(lián)合分布列定義3若二維隨機向量(X,Y)的可能取值只有有限對或可列對(xi,yj),則稱(X,Y)為離散型隨機向量；稱P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,?)為(X,Y)的(聯(lián)合)概率分布列.YXy1y2?yj?x1p11p12?p1j?x2p21p22?p2j?????xipi1pi2?pij????

5、?聯(lián)合分布列{pij}(i,j=1,2,?)滿足：(1)pij≥0(i,j=1,2,?)(非負性)(2)??pij?1(正則性)ij例1.一袋中有3個球，依次標有①②②三個數(shù)字，從袋中任取一球后，不放回再取一球.設(shè)每次取球時，袋中各球被取到的可能性相同，記X和Y分別為第一次和第二次取得的球上的數(shù)字，求(X,Y)的聯(lián)合概率分布列.離散型隨機向量(X,Y)，其分布函數(shù)為F(x,y)???pij(???x,y???)xi?xyj?y4.聯(lián)合概率密度定義4對于二維隨機向量(X,Y)，若存在非負可積函數(shù)p(x,y),使得?x,y?R，均有xyF(x,y)???p(x,y)dxdy??

6、??則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量；函數(shù)p(x,y)稱為(X,Y)的(聯(lián)合)概率密度函數(shù).2?F(x,y)若p(x,y)在點(x,y)連續(xù)，則?p(x,y).?x?yp(x,y)滿足：(1)p(x,y)≥0(非負性)????(2)??p(x,y)dxdy?1(正則性)????若給定p(x,y)，則對于G?R2，有P{(X,Y)?G}???p(x,y)dxdyG例2.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為?C(6?x?y),0?x?2,2?y?4p(x,y)??4y?0,其他(1)求常數(shù)C；31(2)求P{?X?1,1?Y?3}；22(3)求P{X?Y?3}.x+y=31O12x例

7、3.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為?(3x?4y)?12e,x?0,y?0p(x,y)???0,其他試求(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y).5.常見多維分布(1)多項分布(multinomialdistribution)若(X,Y)的聯(lián)合分布列為P{X?k,Y?k}?n!pk1pk2(1?p?p)n?k1?k2121212k!k!(n?k?k)!1212其中k1,k2=0,1,2,…,n；0

8、6個球中恰有3個白球、1個黃球、2個紅球的概率.記X=6個球中的白球數(shù)，Y=6個球中的黃球數(shù)6!312P{X?3,Y?1}?(0.6)(0.25)(0.15)3!1!2!P{X?k,Y?k}?6!(0.6)k1(0.25)k2(0.15)6?k1?k212k!k!(6?k?k)!1212一般地，若X=(X1,X2,…,Xr)的聯(lián)合分布列為P{X?k,X?k,?,X?k}?n!pk1pk2?pkr1122rr12rk!k!?k!12r其中k1+k2+…+kr=n,則稱X服從r項分布，記為X~M(n,p1,…,pr).