隨機向量及其概率分布.ppt

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1、第4章隨機向量及其概率分布4.1隨機向量的聯(lián)合分布4.2邊緣分布4.3條件分布4.4隨機變量的獨立性4.5隨機向量函數(shù)的分布4.1隨機向量的聯(lián)合分布4.1.1二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)引例假設(shè)某商店一天內(nèi)的顧客人數(shù)X服從參數(shù)為1000的Poisson分布；購買某種商品的人數(shù)記為Y，若每個顧客購買這種商品的概率為0.25，且各個顧客是否購買這種商品是相互獨立的。求一天有m個顧客進(jìn)入商店且有n個顧客購買這種商品的概率。定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為Ω，X、Y為定義在上Ω的隨機變量，則稱(X,Y)為一個二維隨機向量。若(X,Y)是一個二維隨機變量，則

2、稱函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)(等式右邊表示隨機事件X≤x、Y≤y的乘積的概率)為隨機變量(X,Y)的(聯(lián)合)分布函數(shù)。二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì)：0≤F(x,y)≤1且F(-∞,y)=F(x,-∞)=0，F(xiàn)(+∞,+∞)=1；當(dāng)x固定時F(x,y)是y的單調(diào)不減函數(shù)，當(dāng)y固定時F(x,y)是x的單調(diào)不減函數(shù)；F(x,y)最多有可列個間斷點，且在間斷點(x0,y0)處關(guān)于x和y都是右連續(xù)。例已知(X,Y)的分布函數(shù)為求：A、B；概率P(0

3、(X,Y)只可能取有限個或可列個值，則稱(X,Y)為二維離散型隨機向量。設(shè)二維離散型隨機向量(X,Y)的一切可能取值為(xi,yi)，則稱P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…為X與Y的聯(lián)合分布律(列)或(X,Y)的概率分布。離散型隨機向量的聯(lián)合分布律的表示方法：公式法：P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…列表法：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………例從分別標(biāo)有1,2,2,3,3,4的6個球中任取3個球，用X、Y分別表

4、示其中的最小號碼和最大號碼，求：X、Y的聯(lián)合概率分布；概率P(X+Y>5)。離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布的性質(zhì)：pij≥0；p11+p12+…+p1n+p21+p22+…+p2n+…+pn1+pn2+…+pnn+…=1。4.1.3二維連續(xù)型隨機向量定義對二維隨機向量(X,Y)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，f(x,y)為X與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)或(X,Y)的密度函數(shù)，簡記為(X,Y)~f(x,y)。連續(xù)型隨機向量的密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)：f(x,y)≥0；例設(shè)二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函

5、數(shù)為求：①A；②P(X+Y≤1)。定理若二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)。則有例隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：①A；②P(X≤Y)；③(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)。例隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：①A；②P(X≤Y)。定義若隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱隨機向量(X,Y)服從D上的均勻分布。定義若隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱隨機向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ12,r)。4.2邊緣分布4.2.1邊緣分布函數(shù)定

6、義對二維隨機向量(X,Y)，隨機變量X、Y的分布函數(shù)稱為(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣分布函數(shù)。定理若(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=F(x,+∞)，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為FY(y)=F(+∞,y)。4.2.2二維離散型隨機向量的邊緣分布律定義若(X,Y)是二維離散型隨機向量，則隨機變量X、Y的概率分布稱為(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率分布。定理若二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,…，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率分布為

7、pi·=P(X=xi)=pi1+pi2+…+pij+…，i=1,2,3,…，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率分布為p·j=P(Y=yj)=p1j+p2j+…+pij+…，j=1,2,3,…，求邊緣概率分布時，可在表格上直接進(jìn)行：YXy1y2…yj…pi·x1p11p12…p1j…p1·x2p21p22…p2j…p2·…………………xipi1pi2…pij…pi·…………………p·jp·1p·2…p·j…例若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右求(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率分布。例若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右求(X,Y)關(guān)于

8、X、Y的邊緣概率分布。YX23410.20.250.05200.250.053000.2YX23410.10.250.1520.060.150.0930.040.10.064.2