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《6.2 不動點迭代法及其收斂定理》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第7章方程與方程組的迭代解法§7.2不動點迭代法及其收斂定理一、迭代法原理將非線性方程f(x)=0化為一個同解方程x??(x)--------(2)并且假設?(x)為連續(xù)函數(shù)任取一個初值x,代入(2)的右端,得0x??(x)10繼續(xù)x??(x)?2??1x??(x)(k?0,1,2,?)--------(3)k?1k稱(3)式為求解非線性方程(2)的簡單迭代法稱?()x為迭代函數(shù)稱為第步迭代值,xkk如果存在一點xx*,使得迭代序列{}滿足klimx?x*k--------(4)k??則稱迭代法(3)收斂,否則稱為發(fā)散3例1.用
2、迭代法求解方程2x?x?1?0解:(1)將原方程化為等價方程3x?2x?1如果取初值x?0,由迭代法(3),得0x?003x?2x?1??1103x?2x?1??3213x?2x?1??55?3?2?顯然迭代法發(fā)散(2)如果將原方程化為等價方程x?1x?32仍取初值x0?01x?1?3x?30?0.7937122x?11.7937x?31?3?0.9644222同樣的方程依此類推,得x2=0.9644x3=0.9940不同的迭代格式x4=0.9990有不同的結(jié)果x5=0.9998迭代函數(shù)的構(gòu)造有關(guān)x6=1.0000x7=1.00
3、00什么形式的迭代法已經(jīng)收斂,故原方程的解為能夠收斂呢?x?1.0000?y?x如果將(2)式表示為?與方程(2)同解y?x?y??(x)y?xy??(x)收斂y??(x)Oxxx*xx1320Ox*xxx210?(x)在x*附近較平緩y??(x)y?xy?x發(fā)散y??(x)Oxxxx*210Oxxx*xx3102?(x)在x*附近較陡峭迭代過程的收斂性定理1.設迭代函數(shù)?()[,]x在ab上連續(xù)且滿足,(1)當時x?[,],aba??()x?b;(2)存在一正數(shù)滿足L,0?L?1,且??x[,],ab有
4、??(x)
5、?L---
6、-----(5)o則1.方程x??()[,]x在ab內(nèi)有唯一解x*2.o對于任意初值x??[,],ab迭代法x?(x)均收斂于x*01kk?(局部收斂性)oL3.x?x*?x?xk1?Lkk?1--------(6)koL4.x?x*?x?xk10--------(7)1?L證:設f(x)?x??(x),則f(x)在[a,b]上連續(xù)可導由條件(1)f(a)?a??(a)?0f(b)?b??(b)?0由根的存在定理,方程f(x)?0在[a,b]上至少有一個根證:由
7、??(x)
8、?L?1f?(x)?1???(x)?0則f(x)在[a
9、,b]上單調(diào)遞增,f(x)?0在[a,b]上僅有一個根o所以1.方程x??(x)在[a,b]內(nèi)有唯一解x*o2.對于迭代法x??(x),k?1k由微分中值定理xk?1?x*??(xk)??(x*)???(?)(xk?x*)x?x??(x)??(x)???(?)(x?x)k?1kkk?1kk?1由于
10、??(x)
11、?Lx?x?Lx?xk?1kkk?1x?xk?1k?Lxk?xk?1xk?1?x*?Lxk?x*?Lx?x*?(x?x)k?1k?1k?Lx?x*?L(x?x)k?1k?1kLx?x*?x?xk?1k?1k1?LLx?x*
12、?x?xkkk?11?L2L?x?xk?1k?21?L???kL?x?x101?L由于L?1,lim(xk?x*)?0k??因此對任意初值x,迭代法x??(x)均收斂于x*0k?1kLkLxk?x*?xk?xk?1?x1?x01?L1?L證畢.定理1指出,只要構(gòu)造的迭代函數(shù)滿足
13、??()
14、xL??1迭代法x??(x)就收斂k?1k數(shù)值分析控制誤差ε的方法：(1)先計算滿足誤差要求的迭代次數(shù)n，再迭代。由nL
15、x??
16、?
17、x?x
18、??n101?L可得?(1?L)ln
19、x?x
20、10n?lnL(2)事后誤差估計法。由于L
21、x??
22、?
23、
24、x?x
25、n1?Lnn?1數(shù)值分析對于預先給定的誤差限?即要求
26、xk?x*
27、??由(6)式,只要Lx?x??kk?11?L1?L因此,當xk?xk?1?L???--------(8)迭代就可以終止,x可以作為方程的近似解k定義1：如果存在*的某個鄰域*，使迭代過程xR:x?x??xk?1??(xk)對于任意初值x0?R均收斂，則稱迭代過程x??(x)在根x*鄰近具有局部收斂性。k?1k定理2**若是的不動點xx??,?在的某鄰域上存在*且連續(xù)并滿足,0
28、????()
29、1,x則迭代過程*x??(x).在的鄰域是線性x收斂的kk?1例
30、2.用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點后6位xe?10x?2?0x解:由于e?0,則2?10x?0x?0.2x?0時,x0?e?1,2?10x?2因此[0,0.2]為有根區(qū)間本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式x2?ex??(x)?x??2(x)?ln(2?10x)11
