不動點(diǎn)迭代法及其加速技術(shù).ppt

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1、迭代法的加速二、Aitken加速法一、待定參數(shù)法/*acceleratingconvergence*/若

2、g’(x)

3、?1,則將x=g(x)等價(jià)地改造為求K,使得一、待定參數(shù)法例:求在(1,2)的實(shí)根。如果用進(jìn)行迭代,則在(1,2)中有現(xiàn)令希望,即在(1,2)上可取任意,例如K=?0.5,則對應(yīng)即產(chǎn)生收斂序列。設(shè)xk是根x*的某個(gè)預(yù)測值,用迭代公式校正一次得:假設(shè)在所考慮范圍內(nèi)改變不大,其估計(jì)值為L,則有二、Aitken加速法相除將再校正一次,所以?Aitken加速:xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,x1)

4、x1x2P(x1,x2)一般地,有:比收斂得略快。Newton迭代法將f(x)在點(diǎn)xn作Taylor展開:——Taylor展開線性化f(x)=0近似于f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)從(1)解出x,記為xn+1,則1.Newton迭代公式建立它對應(yīng)的迭代方程為顯然是f(x)=0的同解方程,故其迭代函數(shù)為在f(x)=0的根x*的某個(gè)鄰域內(nèi),在x*的鄰域R內(nèi),對任意初值,應(yīng)用公式(2)來解方程的方法就稱為牛頓迭代法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一.2.Newton迭代法的幾何意義與x軸(y=0)

5、的交點(diǎn)x,作為下一個(gè)迭代點(diǎn)xn+1,即用f(x)在xn處的切線Newton迭代法又稱切線法.例用Newton迭代法求下面方程的一個(gè)正根,計(jì)算結(jié)果精確到7位小數(shù).解:由Newton迭代法由Newton迭代法x1=1.4666667,…,x4=1.3688081x5=1.3688081迭代5次精度達(dá)10-7x*≈1.3688084.Newton迭代法收斂定理(1)Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;(2)定理設(shè)f(x*)=0,,且在x*的鄰域上存在,連續(xù),則可得證:將f(x)在xn處作2階Taylor展開,

6、并將解x*代入注意到ξn在xn及x*之間,及,故所以,Newton法至少二階收斂.注意到ξn在xn及x*之間,及,故例3.為線性收斂證明:所以例4.至少是平方收斂的由定義1注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以由定理2該迭代法至少是平方收斂的Newton迭代公式是一種特殊的不動點(diǎn)迭代,其迭代矩陣為:Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.方法有效前提:Newton迭代法的特征5.Newton迭代法的應(yīng)用----------開方公式對于給定正數(shù)應(yīng)用牛頓迭代法解二次方程

7、可導(dǎo)出求開方值的計(jì)算公式設(shè)是的某個(gè)近似值,則自然也是一個(gè)近似值,上式表明,它們兩者的算術(shù)平均值將是更好的近似值。定理開方公式對于任意給定的初值均為平方收斂。牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度,所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確解。缺點(diǎn):1.重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計(jì)算量比較大:因每次迭代除計(jì)算函數(shù)值外還要計(jì)算微商值;3.選定的初值要接近方程的解,否則有可能得不到收斂的結(jié)果;牛頓迭代法的改進(jìn)缺點(diǎn)克服:1.局部線性收斂------改進(jìn)公式或加速2.每步都要計(jì)算微商

8、值-----簡化Newton迭代法或弦截法3.初值近似問題-------二分法求初值或”下山算法”方法一.若已知重?cái)?shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:此時(shí),,至少2階收斂.不實(shí)用:m往往不確定.方法二.取,再對函數(shù)F(x)用Newton迭代:此時(shí),X*為F(x)的單根,所以是2階收斂.但要用到二階導(dǎo)數(shù).6.Newton法的改進(jìn)(I)---重根情形Newton迭代法需要求每個(gè)迭代點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f’(xk)復(fù)雜!這種格式稱為簡化Newton迭代法精度稍低6.Newton法的改進(jìn)(II)則Newton迭代法變?yōu)檫@種格

9、式稱為弦截法收斂階約為1.618例4用簡化Newton法和弦截法解下面方程的根,并和Newton迭代法比較解:由簡化Newton法由弦截法由Newton迭代法x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759x8=0.3472964208x9=0.3472963440x10=0.3472963572x11=0.3472963553x0=0.5;

10、x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553簡化Newton法由弦截法要達(dá)到精度10-8簡化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963

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