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1、§6.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂定理第6章方程與方程組的迭代解法一、迭代法原理--------(2)將非線性方程f(x)=0化為一個(gè)同解方程繼續(xù)--------(3)稱(3)式為求解非線性方程(2)的簡(jiǎn)單迭代法則稱迭代法(3)收斂,否則稱為發(fā)散--------(4)例1.解:(1)將原方程化為等價(jià)方程顯然迭代法發(fā)散(2)如果將原方程化為等價(jià)方程仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此類推,得已經(jīng)收斂,故原方程的解為同樣的方程不同的迭代格式有不同的結(jié)果
2、什么形式的迭代法能夠收斂呢?迭代函數(shù)的構(gòu)造有關(guān)如果將(2)式表示為與方程(2)同解收斂發(fā)散定理1.--------(5)--------(6)--------(7)(局部收斂性)迭代過(guò)程的收斂性證:由條件(1)由根的存在定理,證:由由微分中值定理證畢.定理1指出,只要構(gòu)造的迭代函數(shù)滿足由(6)式,只要因此,當(dāng)?shù)涂梢越K止,--------(8)定義1：如果存在的某個(gè)鄰域，使迭代過(guò)程對(duì)于任意初值均收斂，則稱迭代過(guò)程在根鄰近具有局部收斂性。例2.用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點(diǎn)后6位解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式因此采用迭
3、代函數(shù)d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于
4、d7
5、=0.1000e-006<1e-6因此原方程的解為x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.0905251由定理1的(7)式出,迭代法收斂就越快定義1.--------(9)迭代法收斂
6、速度定理3.例解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式,迭代法發(fā)散.(2)迭代法收斂.(1)Newton迭代法將f(x)在點(diǎn)xn作Taylor展開(kāi):——Taylor展開(kāi)線性化f(x)=0近似于f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)從(1)解出x,記為xn+1,則1.Newton迭代公式建立它對(duì)應(yīng)的迭代方程為顯然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函數(shù)為在f(x)=0的根x*的某個(gè)鄰域內(nèi),在x*的鄰域R內(nèi)，對(duì)任意初值，應(yīng)用公式（2）來(lái)解方程的方法就稱為牛頓迭代法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一.2.Newton迭代法的幾何
7、意義與x軸(y=0)的交點(diǎn)x,作為下一個(gè)迭代點(diǎn)xn+1,即用f(x)在xn處的切線Newton迭代法又稱切線法.例用Newton迭代法求下面方程的一個(gè)正根,計(jì)算結(jié)果精確到7位小數(shù).解:由Newton迭代法由Newton迭代法x1=1.4666667,…,x4=1.3688081x5=1.3688081迭代5次精度達(dá)10-7x*≈1.3688084.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;（2）定理設(shè)f(x*)=0,,且在x*的鄰域上存在,連續(xù),則可得證：將f(x)在xn處作2階Taylo
8、r展開(kāi),并將解x*代入注意到ξn在xn及x*之間,及,故所以，Newton法至少二階收斂.注意到ξn在xn及x*之間,及,故例3.為線性收斂證明:所以例4.至少是平方收斂的由定義1注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以由定理2該迭代法至少是平方收斂的Newton迭代公式是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代,其迭代矩陣為:Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.方法有效前提:Newton迭代法的特征5.Newton迭代法的應(yīng)用----------開(kāi)方公式對(duì)于給定正數(shù)應(yīng)用牛頓迭代法解二次方程可導(dǎo)
9、出求開(kāi)方值的計(jì)算公式設(shè)是的某個(gè)近似值，則自然也是一個(gè)近似值，上式表明，它們兩者的算術(shù)平均值將是更好的近似值。定理開(kāi)方公式對(duì)于任意給定的初值均為平方收斂。牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過(guò)程中只要迭代幾次就會(huì)得到很精確解。缺點(diǎn):1.重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計(jì)算量比較大:因每次迭代除計(jì)算函數(shù)值外還要計(jì)算微商值;3.選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結(jié)果;牛頓迭代法的改進(jìn)缺點(diǎn)克服:1.局部線性收斂------改進(jìn)公式或加速2.每步都要計(jì)算微商值-----簡(jiǎn)化
10、Newton迭代法或弦截法3.初值近似問(wèn)題-------二分法求初值或”下山算法”方法一.若已知重?cái)?shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:此時(shí),,至少2階收斂.不實(shí)用:m往往不確定.方法二.取,再對(duì)函數(shù)F(x)用Newton迭代:此時(shí),X*為F(x)的單根,所以是2階收斂.但要用到二階導(dǎo)
