Russell悖論釋疑

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1、http://www.paper.edu.cnRussell悖論釋疑——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)四大邏輯悖論理性重釋之五12楊本洛，宋文淼1上海交通大學(xué)自然科學(xué)基礎(chǔ)研究組，上海200240Email:blyang@sjtu.edu.cn2中國科學(xué)院電子研究所，北京100080Email:wenmiaosong@gmail.com摘要:對于集合論而言，通常視Russell悖論比Cantor悖論更為致命。但是，Russell悖論之所以顯得特別隱晦，歸咎于該悖論的構(gòu)造自身隱含邏輯前提的不當(dāng)或錯(cuò)誤。并且，與所有的集合論悖論一樣，最終根源于對“存在原則”的邏輯否定。關(guān)鍵詞:集合論，Russell悖論，

2、矛盾，邏輯如何認(rèn)識和解決Cantor悖論，成為19世紀(jì)末至20世紀(jì)初西方數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們需要面對的嚴(yán)峻課題。1901年，被人們視作“現(xiàn)代邏輯主義”代表人物的哲學(xué)家B.Russell在即將進(jìn)入而立之年之際，在給他的前輩并被人們同稱為“數(shù)學(xué)邏輯主義”創(chuàng)始人的德國數(shù)學(xué)家費(fèi)雷格（G.Frege）的信中，最早提出一個(gè)稱之為“集合論悖論中一個(gè)影響最大”的悖論，即Russell悖論。收到Russell的來信，F(xiàn)rege立刻意識到這個(gè)悖論的對數(shù)學(xué)的邏輯主義綱領(lǐng)帶來的致命威脅。為此，F(xiàn)rege特地為次年出版的《數(shù)學(xué)基本規(guī)則》第二卷增添了一個(gè)后記，在其中“不無悲哀（其實(shí)應(yīng)該稱之為一種極其難能可貴

3、的誠實(shí)和勇氣）”地寫道：對于一個(gè)科學(xué)工作者來說，最不幸的事情莫過于：當(dāng)他的全部工作剛剛完成的時(shí)候，卻發(fā)現(xiàn)知識大廈的一塊基石突然動(dòng)搖了。正當(dāng)本書的印刷接近完成之際，B.Russell先生給我的一封信使我陷入這種境地。事實(shí)上，如果需要指出：因?yàn)镽ussell悖論迫使Frege在“極度消沉”中度過了長達(dá)十幾年的歲月，最終“徹底放棄把算術(shù)化歸為邏輯的一切希望”；不如更為準(zhǔn)確地說：當(dāng)那個(gè)時(shí)代的許多人以為以集合論為基礎(chǔ)重建數(shù)學(xué)大廈的工作即將完成的時(shí)候，Russell悖論清楚表明這個(gè)[1,2,3]剛剛完成的“數(shù)學(xué)大廈”的奠基石崩潰了。當(dāng)然，正如一些著述已經(jīng)指出的那樣，作為Russell悖論

4、的提出者并沒有真正邏輯地認(rèn)識到：這個(gè)悖論對整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系基礎(chǔ)所構(gòu)成巨大而致命的沖擊；那么，同樣因?yàn)榇耍?dāng)21世紀(jì)的西方知識社會(huì)開始重新關(guān)注現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系基礎(chǔ)的跨世紀(jì)爭論時(shí)，這實(shí)際上也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的所謂“邏輯主義綱領(lǐng)”已經(jīng)逐漸淡出人們的視野，將這個(gè)不僅涉及數(shù)學(xué)體系的本身，而且還關(guān)系整個(gè)自然科學(xué)存在基礎(chǔ)的爭論，最終邏輯或本質(zhì)地歸結(jié)為人類的知識體系必須嚴(yán)格建立在“實(shí)體論——物質(zhì)第一性”之上，還是允許甚至只能建立在“約定論——純粹[4]自由思想”之上的緣故。1.Russell悖論的構(gòu)造與集合論的其它幾個(gè)悖論相比，對Russell悖論做出較為清晰的陳述要困難一些，甚至不妨說這個(gè)悖論自身的

5、意義相當(dāng)晦澀。因此，此處基本采用《公理集合論導(dǎo)引》一書針對Russell悖論相應(yīng)所作陳述的同時(shí)，努力以一種相對更為容易為人們理解的語言，以及局部添加評述的敘議結(jié)合方式介紹這個(gè)悖論的具體構(gòu)造。根據(jù)集合論，任意一種對象，無論它是實(shí)在的還是虛擬的，它們都可以用作構(gòu)造集合的-1-http://www.paper.edu.cn元素。特別地，集合也是人們思維的對象。因此，集合也可以作為“集合”的元素。需要注意：正如Russell在敘述他是如何發(fā)現(xiàn)他所提出的悖論時(shí)特別指出的那樣，此處之所以需要強(qiáng)調(diào)“任意一種對象都可以成為集合的元素”的隨意性，只是為了能夠與Cantor悖論中所定義的那個(gè)“由

6、‘所有集合’構(gòu)造的集合”的基本理念保持一致。但是，促使Russell進(jìn)一步思考的問題與Cantor悖論并不相同，Russell提出了另一個(gè)獨(dú)立命題：在這個(gè)由集合所構(gòu)造的“集1合”中，是否存在不是該“集合”中元素的集合？事實(shí)上，如果遵循構(gòu)造集合論的最基本思想，不僅“對象”的認(rèn)定極其廣泛，無需也不允許任何形式“有限論域”的限制，而且，根據(jù)集合論的“概括原則”，對于“性質(zhì)”或者“條件”這一概念的認(rèn)定同樣極其廣泛，同樣沒有并且不允許任何限制的存在。故而，在集合論的習(xí)慣陳述中，常常將“性質(zhì)”稱之為“謂詞（Predicate）”，從而以一種更為明確的方式告訴人們：不僅性質(zhì)的存在是無條件或

7、無所限制的；而且一旦對性質(zhì)作出認(rèn)定，邏輯上已經(jīng)對擁有該性質(zhì)的邏輯主體構(gòu)成認(rèn)定。顯然，當(dāng)用“性質(zhì)”p1(x)隱式地表示x是一自然數(shù)時(shí)，性質(zhì)p1(x)就相應(yīng)成為刻畫自然數(shù)集合的“概括原則”。如果用N表示自然數(shù)集合，則存在這樣一些簡單而自然的推論11,2,L∈N,?N,N?N2注意，上述自然推論中的最后的命題N?N通常表示這樣一層意義：因?yàn)榧现械牟煌乇仨毷恰翱杀妫―istinguishable）”的，所以盡管自然數(shù)集合中的所有不同元素是可辨的，但是作為自然數(shù)某個(gè)集合的整體并不具有“可分辨”性，因此自然數(shù)