Jaulent_Miodek方程組和長(zhǎng)水波近似方程組的新精確解

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1、第20卷第1期大學(xué)數(shù)學(xué)Vol.20,№.12004年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb.2004Jaulent-Miodek方程組和長(zhǎng)水波近似方程組的新精確解12劉曉平,劉春平(1.揚(yáng)州教育學(xué)院高郵分院,高郵225600;2.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,揚(yáng)州225002)[摘要]首先,利用直接代數(shù)法給出了一類(lèi)非線性方程的四組顯式精確解的公式.進(jìn)而,很方便地得到了Jaulent-Miodek方程組和長(zhǎng)水波近似方程組的若干新精確解.[關(guān)鍵詞]非線性發(fā)展方程;精確解;代數(shù)方法[中圖分類(lèi)號(hào)]O175.2[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1672-1454(2004)01-0042-071引

2、言本文考慮如下兩個(gè)非線性耦合方程組(i)Jaulent-Miodek方程組3ut+vx+uux=0,(1)a211vt+uxv+uvx-uxxx=0.(1)b24[1]方程組(1)是與位勢(shì)依賴(lài)于能量的特征值問(wèn)題相聯(lián)系的非線性發(fā)展方程,文獻(xiàn)[2]通過(guò)將其Lax對(duì)非線性化,得到了它的有限帶勢(shì)解.(ii)長(zhǎng)水波近似方程組1ut-uux-vx+uxx=0,(2)a21vt-(uv)x-vxx=0.(2)b2[6]方程組(2)是Witham和Broer在研究淺水波運(yùn)動(dòng)過(guò)程中首次提出的,文獻(xiàn)[3-5]利用齊次平衡法和[7]Sine-Cosine方法得到了它的孤子解、多孤子解和若干有理形式的精確

3、解.本文旨在進(jìn)一步求上述兩個(gè)方程組的顯式精確解.首先,我們考慮一類(lèi)非線性常微分方程23u″=k0+k1u+k2u+k3u,k3≠0,(3)其中ki(i=0,1,?,3)是一些參數(shù),一撇表示d/d
.在本文第三節(jié)可以看到,方程組(1)和方程組(2)的行波解可以歸結(jié)為方程(3)的求解.此外,方程(3)聯(lián)系著其它許多具有重要物理背景方程的研究(見(jiàn)本文第四節(jié)).對(duì)方程(3),其顯式解可以用齊次平衡法或Sine-Cosine方法求得,但在本文第二節(jié)中,我們將用另一種方法——直接代數(shù)法構(gòu)造它的顯式解.直接代數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是得到的顯式解是以公式形式表示的,進(jìn)而,我們可以很方便地得到Jaulent-M

4、iodek方程組和長(zhǎng)水波近似方程組的若干新精確解.[收稿日期]2002-09-09[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金(10171088)和江蘇省教委自然科學(xué)基金(01K,JB110008)資助第1期劉曉平,等:Jaulent-Miodek方程組和長(zhǎng)水波近似方程組的新精確解432直接代數(shù)法和方程(3)的四組顯式精確解首先,我們用直接代數(shù)法給出方程(3)的顯式精確解.注意到方程(3)中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)分3別為u″和u,為了它們能夠平衡,設(shè)方程(3)的解為a0+a1yu=B+2,y=expA(
+
0),(4)1+yi其中B,A和a0,a1是一些待定常數(shù),
0是一個(gè)任意常數(shù).將(4)式代

5、入(3)式,令y的系數(shù)為零,可得到一個(gè)關(guān)于B,A和a0,a1的代數(shù)方程組,即623y:k0+k1B+k2B+k3B=0,522y:(k1+2k2B+3k3B-A)a1=0,4222y:(k1+2k2B+3k3B-4A)a0+(k2+3k3B)a1=0,322y:(8A+2a0k2+6a0k3B+a1k3)a1=0,222222y:2(k1+2k2B+3k3B+2A)a0+(k2+3k3B)(a0+a1)+3a0a1k3=0,1y:[2(k2+3k3B)+3a0k3]a0a1=0,022y:[k1+2k2B+3k3B+(k2+3k3B)a0+k3a0]a0=0.(5)我們尋找的是方程

6、的非平凡解,故分如下三種情況考慮代數(shù)方程組(5)的解情形(i)a0=0,a1≠0;情形(ii)a0≠0,a1=0;情形(iii)a0≠0,a1≠0.經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)單和直接的計(jì)算,可以得到代數(shù)方程組(5)的三組解222k228k2k2A=k1-,a0=0,a1=-k1-,B=-;(6)3k3k33k33k32221k224k2a0k2A=-k1-,a1=0,a0=-k1-,B+=-;(7)23k3k33k323k3222k2224k2a0k2A=-2k1-,-a1=a0=-k1-,B+=-;(8)3k3k33k323k3其中參數(shù)ki之間有約束關(guān)系2327k0k3-9k1k2k3+2k2=

7、0.(9)將(6)-(8)分別代回(4)式,我們得到公式1當(dāng)參數(shù)ki滿足(9)式時(shí),方程(3)有顯式精確解k2a1u1(
)=-+sechA1(
+
0),(10)3k322222其中A1=(k1-k2/3k3)>0,a1=-8A1/k3>0.k2a0u2(
)=--tanhA2(
+
0),(11)3k322222其中2A2=-(k1-k2/3k3)>0,a0=8A2/k3>0.k2a0u3(
)=--[tanhA3(
+
0)±isechA3(
+
0)],(12