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1、南京建筑工程學院學報2000年JournalofNanjingArchitecturaland第4期CivilEngineeringInstituteSumNo.55文章編號:1003-711X(2000)04-0037-04aBoussinesq方程組的精確解12鄧曉衛(wèi),劉春平(1.南京建筑工程學院基礎(chǔ)部,江蘇南京210009;2.揚州大學理學院數(shù)學系,江蘇揚州225002)摘要:通過引入適當?shù)淖儞Q,采用直接積分的方法得到了Boussinesq方程組的三族顯示精確解。關(guān)鍵詞:變換;Boussinesq方程組;精確解中圖分類號:O175.4文獻標識碼:ABoussinesq方程組Qt+A
2、ux+B(uQ)x=0(1)ut+CQx+Duux-Muxxt=0是描述深度一定的水槽中表面長波兩向傳播的數(shù)學模型,從形式上它可以看成耗散性和非線性影響同階的一維波動方程的擾動。方程中u(x,t)表示波速,X(x,t)=1+DQ(x,t)表示槽中流體自由波面的高度。文[1]僅從理論上證明了方程組解的存在性,關(guān)于該方程組解析解的直接獲得至今未見有報道。以簡潔的形式表示非線性方程的解析解對實際問題的研究是極有價值的。近年來,人們[2-5]在這方面進行了許多研究,但多為單個非線性方程。本文通過適當?shù)淖儞Q,采用直接積分法得到了Boussinesq方程組的三族精確解。1Boussinesq方程組的
3、精確解為討論方便且不失一般性,不妨設(shè)C=D=M=1。我們研究方程組:Qt+Aux+B(uQ)x=0(2)ut+Qx+uux-uxxt=0設(shè)方程組(2)有行波解:u=u(N)=u(x-ct)Q=Q(N)=Q(x-ct)把上式代入方程組(2)得:a收稿日期:2000-03-17作者簡介:鄧曉衛(wèi)(1964-),女,土家族,湖北巴東人,副教授,碩士.38南京建筑工程學院學報2000年-cQ′+Au′+B(Qu)′=0(3)-cu′+Q′+uu′+cuê=0(4)dudQ這里u′=,Q′=。將方程(3)對N積分并整理得:dNdNK1-AuQ=(5)Bu-c方程(4)對N積分一次得:12-cu+Q+
4、u+cu″=K2(6)2其中K1,K2為積分常數(shù)。將(5)代入(6)整理得一個關(guān)于u的二階非線性微分方程:2B3c2cBuu″-cu″+u-cB+u+au+K=0(7)222這里a=c-BK2-A,K=K1+cK2。設(shè)方程(7)有如下形式的解:1/23/2u=D+Fv,v′=Av+Bv(8)12322式中A、B、D、F為待定常數(shù),且A·B·F≠0。則u″=AF+2ABFv+BFv,22將u與u″的表達式代入(7)整理得一個關(guān)于v的三次代數(shù)方程,令v的各次冪的系數(shù)為0,有:3322B3v∶cBBF+F=0(9)2223223223212v∶cBBDF+2cBABF-cBF+BDF-B+cF
5、=0(10)2222122232v∶2cBABDF+cBAF-2cABF+BDF-(2B+1)cDF+aF=0(11)220121221312v∶cBADF-cAF+BD-B+cD+aD+K=0(12)2222由(9)得:2F=-3cB(13)(13)代入(10)化簡整理得:D-cAB=-(14)2c再把(13)(14)代入(11)同時注意到a的表達式,經(jīng)過整理可得一關(guān)于D的二次代數(shù)方程:222BD-2BcD-(3B+8)c+8(c-A-BK2)=0不難求出:KD=c±(15)B13式中,K=4B2c2+8AB+8B2K222。積分v′=Av+Bv得到:AB<0:A2ABv=-tanh(
6、N+N0)(16)B2第4期鄧曉衛(wèi)等:Boussinesq方程組的精確解39或A2ABv=-coth(N+N0)(17)B2AB>0:A2ABv=tan(N+N0)(18)B2由(14)(15)式,且不失一般性可設(shè)B>0知:KK當D-c=時,AB=-<0;B2cBKK當D-c=-時,AB=>0;B2cBK1-Au綜上,把(13)(15)及v的三族解(16)(17)(18)分別代入u=D+Fv,Q=,即得Bu-cBoussinesq方程組的三族顯式精確解:K3K21Ku=c-+sech(N+N0)2B2B22cB(Ⅰ)A2BK1-2AcQ=-+B21K2cB(B-1)-BK+3BKsech
7、(N+N0)22cBK3K21Ku=c-+csch(N+N0)2B2B22cB(Ⅱ)A2BK1-2AcQ=-+B21K2cB(B-1)-BK+3BKcsch(N+N0)22cBK3K21Ku=c+-sec(N+N0)2B2B22cB(Ⅲ)A2BK1-2AcQ=-+B21K2cB(B-1)+BK-3BKsec(N+N0)22cB2幾點說明:1)在第(Ⅰ)族解中u為孤波解,這對實際問題的研究具有一定的意義。22)由u=D+Fv,F=-3
