功率譜估計(jì)和信號(hào)頻率估計(jì)方法 [兼容模式]

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1、第3章功率譜估計(jì)和信號(hào)頻率估計(jì)方法UESTC何子述1?本章要回答的問(wèn)題是，怎樣利用隨機(jī)過(guò)程un()的N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)uuNN(0,)(1,,)?uN(N-1)估計(jì)出隨機(jī)過(guò)程的功率譜S()w？?經(jīng)典功率譜估計(jì)?參數(shù)模型法估計(jì)?基于相關(guān)矩陣特征分解的信號(hào)頻率估計(jì)UESTC何子述23.1經(jīng)典功率譜估計(jì)方法?經(jīng)典功率譜估計(jì)是基于傳統(tǒng)傅里葉變換的思想，其中的典型代表有Blackman和Tukey提出的自相關(guān)譜估計(jì)（簡(jiǎn)稱為BT法），和周期圖法。3.1.1BT法1.自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)與傅里葉變換設(shè)un()為un()的

2、N個(gè)觀測(cè)值，則un()的自相關(guān)函數(shù)N估計(jì)值N-11*rm?()=-?ununmNN()(),mN￡-1(1)Nn=0根據(jù)維納-辛欽（Wiener-Khintchine）定理，對(duì)上式UESTC何子述3求傅里葉變換，即MSr?()w=￡??()me-jmw,MN-1(2)BTmM=-以此結(jié)果作為對(duì)真實(shí)功率譜S(w)的估計(jì)，因?yàn)槭?2)是通過(guò)自相關(guān)函數(shù)間接得到的，稱為間接法。如果m和N都比較大，rm?()的運(yùn)算量就很大。這時(shí)可以采用FFT對(duì)rm?()進(jìn)行計(jì)算。對(duì)式（1）求傅里葉變換，并整理得UESTC何

3、子述4N-1?-jmw12?rme()=UN()wmN=-()-1N2其中，U(w)是unN()的能量譜，除以N后即為功率N譜。這說(shuō)明，由式(1)估計(jì)出的rm?()和unN()的功率譜是一對(duì)傅立葉變換。算法3.1（用FFT計(jì)算自相關(guān)函數(shù)的方法）步驟1對(duì)unN()補(bǔ)N個(gè)零，得un2N()，對(duì)un2N()做快速傅立葉變換（FFT）得Uk2N()kN=-0,1,?,21UESTC何子述512Uk()步驟2求Uk2N()的幅度平方，然后除以N，得2NN12步驟3對(duì)Uk2N()進(jìn)行IFFT，得rm?0()m

4、N=-0,1,?,21Nrm?()與rm?()的關(guān)系為0ì?rm?()01￡￡-mN?0rm?()=í???rmN?0()+-21N+￡m￡-12自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)性能(1)均值rm?()的均值為UESTC何子述6Nm-

5、

6、E{}rm?()=rm()(3)N從式（3）可以看出，?對(duì)于固定的延時(shí)m，limE(){rm?}=rm()。即rm?()是對(duì)N?￥rm()的漸近無(wú)偏估計(jì)；?對(duì)于固定的N，當(dāng)m越接近于N時(shí)，估計(jì)的偏差越大；?由式(3)可知，rm?()的均值是真值rm()和三角窗函數(shù)ì?1

7、

8、,-￡

9、mN

10、

11、mN-1()T?wm()=í21N-???0,其它UESTC何子述7()T的乘積，wm21N-()的長(zhǎng)度為21N-。(2)方差rm?()的方差為2var{rm???()}=-E{rm()E{}rm()}22=-E{rm??()}E{}rm()假定信號(hào)un()是零均值的實(shí)高斯隨機(jī)信號(hào)，得Nm--1

12、

13、é+ùvar{}rm?()=-+1

14、?êú1ml

15、

16、

17、érlrlmrlm2()(+)(-)ùê?ú?NN?êú?lNm=-(1

18、

19、--)UESTC何子述8由于rm()是有限的，顯然當(dāng)N?￥時(shí)，r

20、m?()的方差將趨近于零。所以，對(duì)于固定的延時(shí)m，rm?()是rm()的漸近一致估計(jì)。另外，還有一種常用的rm()的估計(jì)rm?()N-11*rm?()=-?ununmNN()(),1mN￡-Nm-n=0其均值為E{}rm?()=rm()UESTC何子述9若信號(hào)un()是零均值的實(shí)高斯隨機(jī)信號(hào)，則rm?()的方差為1Nm--1

21、

22、élùvar{}rm?()=-?êú1érl2()+rlmrlm(+)(-)ùêúê?ú?Nm--lNm=-(1

23、

24、--)ê?Nmú?由以上兩式得，rm?()為無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)

25、m接近于N時(shí)，估計(jì)rm?()的方差很大，但當(dāng)Nm?時(shí)，rm?()是rm()的漸近一致估計(jì)。UESTC何子述103.1.2周期圖法周期圖（Periodogram）法又稱直接法。以S?PER()w表示周期圖法估計(jì)出的功率譜，則12SU?()ww=()(4)PERNNN-1-jnw其中，UuNN()w=?()nen=0因?yàn)檫@種功率譜估計(jì)方法是直接通過(guò)觀察數(shù)據(jù)的UESTC何子述11傅里葉變換求得的，所以人們習(xí)慣上稱之為直接法。當(dāng)MN=-1時(shí)，周期圖法和BT法是相同的，即N-1?-jmw12?rme()=U

26、N()wmN=-()-1N而當(dāng)MN?-1時(shí)，這相當(dāng)于對(duì)長(zhǎng)度為21N-的rm?()做截?cái)嗵幚?，也即施加了一個(gè)矩形窗，即(R)rmw??()=(mrm)()MM21+UESTC所以，何子述BT法實(shí)際上是對(duì)周期圖法的平滑。123.1.3經(jīng)典功率譜估計(jì)性能討論1MN=-1時(shí)的估計(jì)性能在這種情況下，周期圖法和BT法的性能是一致的。⑴均值BT法的均值為E{}SS?()www=*1()W()T()BT2N-12p由上式可知，功率譜估計(jì)的均值可以表示為信號(hào)的UESTC何子述13(T)真實(shí)功率譜S(