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《數(shù)學物理方程和定解條件導出》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第六章數(shù)學物理方程和定解條件的導出6.1波動問題1.一長為l的均勻細桿，x?0端固定，另一端沿桿的軸線方向被拉長b后靜止（在彈性限度內(nèi)），突然放手任其振動，寫出振動方程與定解條件。解：（1）方程：2?u???sdx???[(xdx)()]xs2?t22??uu(,x??dxtu)(x,tu)??dx??Y[]?Ydx22???txx?xY2uua??uttxxxx?（2）邊界條件?ut(0,)?0??Ft()?ult(,)??0(t?0自由振動)x?Ys（3）初始條件?bbu(x,0)?u(x,0)?
2、?x,(由比例得)?llx?u(,0)0x??t2.長為l的弦兩端固定，密度為?，開始時在xc???處受到?jīng)_量I作用，寫出初始條件。解：（1）初始條件1）初位移，t?0時弦來不及振動，故ux(,0)0?t22）初速度，在xc???段，由動量定理：ΔPF??dt?I,而動量的變化t1I為ΔPmux??(,0)2??ux(,0)，將兩式聯(lián)立，有ux(,0)?,xc???ttt2??在xc???段，沒有受到外界作用，故ux(,0)0,?xc???t3.長為l的均勻細桿，在振動過程中x?0端固定，另一端受拉力
3、F的0作用，試寫出邊界條件（桿的橫截面積為S,楊氏模量為Y）.解：我們?nèi)?0,)?和(,ll??)段進行研究，設桿的體密度為?，2?u對于(0,)?段，由牛頓第二定律有：??sp??F2?0?t由胡克定律?upY?s??xx??2??uu???sY??sF20??txx???u當??0有Ys??F00?xx?0?uF即0??xYsx?02??uu對于(,ll??)段有??sF??Ys20??txx?l???uF當0??0有??xYsxl???uuF故其邊界條件為0????xxYsxx??0l4.線密度
4、為?長為l的弦，兩端固定，在某種介質(zhì)中作阻尼振動，單?u位長度的弦所受阻力Fh??，試寫出其運動方程。?t解：任取(,xxdx?)一小段弦進行研究，由牛頓定律在垂直方向有2?uu?Tsin??????Tsingdxh?dx?dxxdx?21x2?tt?水平方向有TTcos???cos?0xdx?21x我們研究的范圍限于微小振動??????0,即cos?cos??12121亦即TT??Txdx?x??uu且sin????tan,sin????tan1122??xxxxdx?????uu?u?2u?T??
5、??????gdxhdxdx2????xxt??t??xdx?x2??uu??uT()dx?????gdxhdxdx2??xx?t?t22??uu?uTg?????h22??xt?t因為?g這項很小，可以忽略不計22???uTuhu所以???022???txt??2T令a??22???uu2hu故運動方程為：??a?022???txt?5.一根均勻柔軟的細弦沿x軸繃緊，垂直于平衡位置作微小的橫振動，求其振動方程。解：應用牛頓定律于縱向及橫向。（1）縱向。由縱向加速度為零T(x+dx)cos????T(
6、)cosxgdx??021dT??gdx?積分xTxT()??(0)???gdx??gx?0?TxT()????(0)gxglx??()（2）橫向T(x+dx)sin???T()sinx??udx21tt因sin???tg?ux?[]Tu??[]Tuu?dxxxd?xxxtt?[]Tudx?u?dxxtt?x?[]Tu?u?xtt?x11??聯(lián)立:[uT???u][?g(lx)u]ttxx????xx???glxu()guxxx6.2熱傳導問題1.長為l的均勻細桿，，側表面絕熱，x?0端有恒定熱流密度
7、q流入，1x(l?x)x?l端有恒定的熱流密度q流入，桿的初始溫度分布是，試寫22出相應定解條件。（單位時間內(nèi)通過單位面積的熱流量稱為熱流密度）x(lx?)解：由題知初始條件為uxt(,)?。為得到邊界條件分別研究t?020,????l?l兩小段。?u由傅里葉定律：dQ?kdAdt，在0??一小段有?n?uqdAdt??()kdAdt?01??x?uq當1??0時，???xkx?0同樣對于l???l一小段有?uq2??xkxl?故其定解條件為?xlx()?uxt(,)??t?0?2???uuqq???
8、12,?????xkxkxx??0l???uH2.推導邊界條件（6-2-11）?hu??hu,其中h??1???nk?3.半徑R金屬圓柱，表面涂黑，太陽光垂直于柱軸照射到圓柱體側表面的一半，設單位時間內(nèi)垂直于太陽光入射方向上單位面積通過的熱0量為，外界溫度為q0c，試寫出這個熱傳導問題的邊界條件（提示：選用極坐標）。解：考慮表面積為厚度為的箔層。s①太陽光垂直入射，dt內(nèi)流入箔層熱量：?qssin???dt0???Q??1?02?????②由牛頓冷卻定律
