方程的導(dǎo)出定解條件ppt課件.ppt

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1、第一章波動(dòng)方程WaveEquations弦的振動(dòng)某一點(diǎn)出發(fā)的特殊波最典型的雙曲型方程描述波在同性均質(zhì)彈性介質(zhì)內(nèi)傳播的微分方程。例如聲波，光波和水波。出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，例如聲學(xué)，電磁學(xué)，和流體力學(xué)。波動(dòng)方程的變種可以在量子力學(xué)和廣義相對(duì)論中見到?！?方程的導(dǎo)出、定解條件弦的橫振動(dòng)方程的建立定解條件的提出定解問題適定性概念§1方程的導(dǎo)出、定解條件弦的橫振動(dòng)方程的建立定解條件的提出膜振動(dòng)方程的導(dǎo)出定解條件的提法真空中電磁波的傳播設(shè)有一沿水平直線繃緊的弦，以某種方法激發(fā)后在垂直平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)。求弦上各點(diǎn)的運(yùn)

2、動(dòng)規(guī)律。1.弦的橫振動(dòng)方程的建立一、基本假設(shè)：1、細(xì)弦的截面直徑與弦的長(zhǎng)度相比可忽略，因此可視為一根曲線；2、均勻線密度r是常數(shù)；3、柔軟變形時(shí)不抵抗彎曲，弦上各質(zhì)點(diǎn)間的張力與弦的切線方向一致（沒有法向分量）；4、有彈性弦的伸長(zhǎng)形變與張力服從胡克定律。5圖1二、基本定律：6三、數(shù)學(xué)推導(dǎo)由Hooke定律7圖2由基本假設(shè)3，張力的方向總是在點(diǎn)的切線方向8水平方向受力分析即圖39垂直方向受力分析10動(dòng)量分析(1.9)11動(dòng)量分析(1.10)12無(wú)外力弦振動(dòng)方程(1.11)方程(1.11)是弦的自由振動(dòng)方程,

3、通稱為弦振動(dòng)方程或一維波動(dòng)方程。13外力分析于是在方程（1.10）的左側(cè)應(yīng)添加這一項(xiàng)，得到:（1.12）14外力分析（1.14）（1.13）f(x,t)表示時(shí)刻t在點(diǎn)x處,單位質(zhì)量的弦所受外力。方程(1.14)是弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程,通稱為非齊次振動(dòng)方程或非齊次一維波動(dòng)方程。15類似地，可導(dǎo)出二維波動(dòng)方程（例如薄膜振動(dòng)）和三維波動(dòng)方程（例如電磁波、聲波的傳播）。162.定解條件的提出1)初始條件:已知弦在初始時(shí)刻t=0時(shí)的位置和速度2)邊界條件:已知弦在兩個(gè)端點(diǎn)的性態(tài)邊界條件可有幾種不同的形式:①弦的兩端

4、固定：（見圖1)式(4)稱為第一類邊界條件，或Dirichlet邊界條件。17②弦的端點(diǎn)是自由的，可在垂直于x軸的直線上自由滑動(dòng)，此時(shí)合力在u方向的分量為0，即更一般的第二類邊界條件:稱為第二類邊界條件或Neumann邊界條件。（Tsinθ≈Tux）m1和m2是已知函數(shù)18③弦的端點(diǎn)固定在彈性支承上。此時(shí)，彈性力與弦對(duì)支承的拉力(弦在端點(diǎn)的張力在垂直方向的分量)相平衡(見圖4）,描述為更一般的描述:第三類邊界條件圖419求方程(1)或(2)滿足初始條件(3)以及某類邊界條件的解，這種定解問題稱為混合問

5、題或第一(二、三)類混合初邊值問題。另一種極端情形：設(shè)弦很長(zhǎng)，而所要考察的一部分弦離邊界又很遠(yuǎn)。此時(shí)可在無(wú)界區(qū)域上考察方程(1)或(2)滿足初始條件(3)的解。稱為初值問題或柯西(Cauchy)問題.203.膜振動(dòng)方程的導(dǎo)出以膜振動(dòng)方程為例，導(dǎo)出二維波動(dòng)方程。21膜的自由振動(dòng)方程自由項(xiàng)膜的強(qiáng)迫振動(dòng)方程二維波動(dòng)方程224.定解條件的提法①初始條件：②邊界條件：第一類邊界條件：其中Γ為薄膜的邊界在xoy平面上的投影。23第二類邊界條件：其中n為Γ的外法線方向。第三類邊界條件：其中σ為已知正數(shù)。24Cauc

6、hy問題混合初邊值問題255.真空中電磁波的傳播Maxwell方程組D：電位移矢量E：電場(chǎng)強(qiáng)度B：磁感應(yīng)強(qiáng)度H：磁場(chǎng)強(qiáng)度r：電荷密度j：電流密度全電流定律法拉第電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理靜電場(chǎng)高斯定律2627定解問題適定性存在性,唯一性,穩(wěn)定性統(tǒng)稱適定性.穩(wěn)定性指解對(duì)定解條件或自由項(xiàng)的連續(xù)依賴性問題。即：當(dāng)定解條件或f(指f(x,t),f(x,y,t),f(x,y,z,t))有微小變化時(shí)，解是否也只有微小變化。28作業(yè)P6－P7：1,3,4,629