資源描述：
《對一道課本習題的延伸與探究（徐久鈺）》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、對一道課本習題的延伸與探究MANBP圖（2）MANBP圖（1）八年級數(shù)學（下）北師大版216頁B組第2題：我們在本章復習題A組第7題中已經(jīng)證明，當直線MA∥NB，并且點P在MA和NB之間時，有∠APB=∠MAP+∠NBP（如圖（1））.當點P在MA和NB之外時（如圖（2））會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么猜想？易證當點P在MA和NB之外時，有∠MAP=∠NBP+∠APB（證明略）.師：你還能就本題作出什么猜想？（同學們這時議論紛紛，情緒一下便調(diào)動起來了）MANBP圖（4）生：當點P在MA和NB之間（如圖（3））時，有∠MAP+∠PBN+∠APB=3
2、60°.圖（3）MANBP生：當點P在MA和NB之外時（如圖（4）），有∠NBP=∠MAP+∠APB.師：很好.圖（2）與圖（4）中的結(jié)論雖然形式上不一樣，但它們有本質(zhì)的不同嗎？生：沒有，可看作是同一種類型.師：如果在MA和NB之間有兩個點P1、P2呢？又會有什么樣的結(jié)論呢？（組織學生討論，同學們這時積極性更高.）師：這時，P1、P2兩點有哪幾種位置關(guān)系？生：有兩種,如圖（5）和圖（6）所示：MANBP1圖（5）P2圖（6）MANBP1P2生：在圖（5）中，有∠AP1P2+∠P1P2B－∠MAP1－∠NBP2=180°（證明略，虛線表示輔助線，以下同
3、）在圖（6）中，有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠NBP2=540°師：還有沒有其他情況？生：P1、P2兩點的位置還可能是如圖（7）或圖（8）所示，BP2MANP1圖（8）P2MANBP1圖（7）在圖（7）中，有∠NBP2+∠P1P2B+∠MAP1－∠AP1P2=180°在圖（8）中，有∠MAP1+∠AP1P2+∠NBP2－∠P1P2B=180°MANBP1圖（9）P2師：非常好！P1、P2兩點的位置除了在MA和NB之間外，還有沒有其他情況呢？生：P1、P2兩點的位置還可能是如圖（9）所示,這時有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2B－∠N
4、BP2=180°.一堂課到這里時間也差不多了，所得結(jié)果甚至超出了我的預期想象，同學們積極參與，通過動腦、動手、自主探究、互相合作，獲得了知識，這正是新課標的目的與要求.雖然快下課了，可同學們似乎還意猶未盡，為了進一步激發(fā)學生學習數(shù)學的人情，我又提出如果增加到3個點、4個點……n個點，情況又會是怎樣的呢？有興趣的同學不妨試試看.幾天后，幾個對數(shù)學非常感興趣的“尖子生”說他們已經(jīng)探索出了規(guī)律.現(xiàn)把他們的思想整理后在這里與大家交流.隨著點的增多，并考慮到規(guī)律性，主要分為三種類型：第一種：如圖（1）和圖（5）所示的這一類型.當MA和NB之間有3個點（1、2個
5、點的情況上面已討論）P1、P2、P3時，如圖（10），這時有：∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B－∠MAP1－∠NBP3=360°=（3－1）180°MANBP1圖（10）P2P3MANBP1圖（11）P2P3P4當MA和NB之間有4個點P1、P2、P3、P4時，如圖（11）這時有：∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+∠P3P4B－∠MAP1－∠NBP4=540°=（4－1）180°……依此類推，當MA和NB之間有n個點P1、P2、P3、P4……Pn（順次連接點A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時,
6、有∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn－1PnB－∠MAP1－∠NBPn=（n－1）180°(Ⅰ)，顯然當n=1、2時(Ⅰ)式都成立.第二種：如圖（3）和圖（6）所示的這一類型.當MA和NB之間有3個點（1、2個點的情況上面已討論）P1、P2、P3時，如圖（12），有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B+∠NBP3=720°=（3+1）180°圖（13）MANBP1P3P2P4P2圖（12）MANBP1P3當MA和NB之間有4個點P1、P2、P3、P4時，如圖（13），有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3
7、+∠P2P3P4+∠P3P4B+∠NBP4=900°=（4+1）180°……依此類推，當MA和NB之間有n個點P1、P2、P3、P4……Pn（順次連接點A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所組成的多邊形為凸n邊形）時,有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn－1PnB+∠NBPn=（n+1）180°(Ⅱ)顯然當n=1、2時(Ⅱ)式都成立.第三種：如圖（4）和圖（9）所示的這一類型.當MA和NB之外有3個點P1、P2、P3時，如圖（14），有MANBP1圖（14）P2P3MANBP1圖（15）P2P3P4∠MAP1
8、+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B－∠NBP3=360°=（3－1）180°當MA和NB之間有4個
