一道課本習(xí)題的解法探究與延伸.pdf

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1、2013年第12期福建中學(xué)數(shù)學(xué)39一道課本習(xí)題的解法探究與延伸孟濤福建省廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)（363105）222人教A版教材高中數(shù)學(xué)必修二第133頁第8題：APA++QPQ22222在直角ΔABC中，斜邊BC為m，以BC的中點(diǎn)O為=++?+?+xycxbyn()()4m22222=+??++2(xycxbybcn)+4圓心，作半徑為nn()<的圓，分別交BC于P，Q22222bc+22222=?2(nb)++c+4n兩點(diǎn)，求證APA++QPQ為定值．422解法1如圖1，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)2bc+=+6n

2、，A(00)，，Bb(0，)，Cc(0，)，Pxy()，，Qxy()，，21122222∵bcm+=，P，Q兩點(diǎn)所在的圓的方程與點(diǎn)2B，C所在的直線方程聯(lián)立：y∴++=+APA222QPQm6n2（定值）．BP2?cb2??()x?+?=()yn，O分析上述兩種解法在學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)比較多，22Q?因?yàn)檫@種建立坐標(biāo)系的方法更符合學(xué)生的思維習(xí)?xy+=1，ACx??cb圖1慣，很容易想到，方法一主要利用直線方程帶入圓bc22++bc22b2的方程，再利用韋達(dá)定理以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行22(1+?)xxn+?=0，

3、2轉(zhuǎn)化、化簡，但是過程十分繁瑣，而且容易化簡錯cc4222ccn?誤．方法二則設(shè)出了P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公x12+=xc，xx1?=?222，4cb+式得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，看起來有點(diǎn)麻煩，但在化簡過程222bbn?中要比第一種方法簡單一些．如何建立坐標(biāo)系才能同理可得：yyb+=，yy?=?，1212224cb+使過程更加簡單呢？22222222APA++=++++QPQxyxyn41122解法3如圖2，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線PQ為22=+?++?()xxx2()xyyy2y12121212x軸，PQ的垂直平分線

4、為y軸建立直角坐標(biāo)系，22222222ccn??bbn=??cb2()+?2(?)mmnn44cb22++cb22則B(0?，)，C(0，)，P(0?，)，Q(0，)，222222222cbncb++2()2m2=++4n2222設(shè)A()xy，，由已知可得點(diǎn)A在圓xy+=2cb+422cb+2222=+6n，上，APA++QPQ222222222=+++?++()xnyxnyn()4∵cbm+=，22222=+++2(xynn)4222m2∴++APAQPQ=6+n（定值）．22m2=+6n（定值）．解法2設(shè)

5、A(00)，，Bb(0，)，Cc(0，)，Pxy()，，2分析這種建立坐標(biāo)系的方法不僅把圓心放在bc則圓心O坐標(biāo)為()，，Q點(diǎn)坐標(biāo)為()bxcx??，，原點(diǎn)，而且根據(jù)題意利用P，Q和B，C的對稱性，22由題意可寫出圓的方程為：PQBC，，，都放在x軸上去考慮，這樣就簡單的bc222多．所以，在解析幾何的題目中如何建立坐標(biāo)系很()()x?+?=yn，22關(guān)鍵，一般說來，應(yīng)該選擇對稱軸為坐標(biāo)軸，使盡2222bc+2可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，對于不對稱的圖形要根據(jù)x+??+ybxcy=n．4具體的情況，或以互相垂直的直

6、線為坐標(biāo)軸，或過22222bc+化簡整理得：xyb+??=?xcyn，圖形中的某一定點(diǎn)做互相垂直的兩條直線為坐標(biāo)440福建中學(xué)數(shù)學(xué)2013年第12期軸．的思路．y對于本題的幾種解法歸納延伸，可以得到如下A的結(jié)論：BEBCP若兩條定長的線段互相平分，則其中一條線段POQxOQ的一個端點(diǎn)到另一條線段的兩個端點(diǎn)的長的平方和圖2AC為定值．在此基礎(chǔ)上筆者編寫了如下兩個例題：圖3解法4如圖3，設(shè)BC中點(diǎn)為O，連接AO，并①如圖4，三角形ABC的一邊BC的中線AD長延長AO至E，使AOOE=，連接PE，QE，為m，在邊B

7、C上與D點(diǎn)等距離的兩點(diǎn)P，Q之間JJJGJJJGJJJGJJJGJJJGJJJG2222的長度為n，則APA+Q為定值．（易證APA+QAPA+=QAE①，APAQQ?=P②，①②平方相加可得：221=+2)mn．22222222(APA+=+=QA)EPQmn+2，②如圖5，兩個同心圓圓心為O，大圓的半徑為2222m2APA++=+QPQ6n（定值）．R，小圓的半徑為rRr()>，A為大圓上任意一點(diǎn)，222PQ為小圓的直徑，則APA+Q為定值．解法5與方法四類似直接利用平行四邊形中四2222（易證APA+=

8、+QRr2())．條邊的平方和等于兩條對角線的平方和的結(jié)論即可得證．A分析這兩種解法主要是利用了向量的運(yùn)算和PCBA平行四邊形的性質(zhì)，以及平行四邊形中四條邊的平PDQOR方和等于兩條對角線的平方和的結(jié)論（見人教版必QE修2的第105頁）．圖4圖5由以上幾種方法分析，在解決平面幾何問題時，以上兩道題目通過平面幾何方法很容易得證，我們可以通過解析法，建立坐標(biāo)系和方程，由形化當(dāng)然也可以用解析幾何的方法，通