歐幾里得幾何

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1、歐氏幾何歐幾里得幾何指按照歐幾里得的《幾何原本》構(gòu)造的幾何學(xué)。歐幾里得幾何有時(shí)就指平面上的幾何，即平面幾何。本文主要描述平面幾何。三維空間的歐幾里得幾何通常叫做立體幾何。高維的情形請(qǐng)參看歐幾里得空間。簡稱“歐氏幾何”，是幾何學(xué)的一門分科。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德把人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)作為定義和公理，在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。在其公理體系中，最重要的是平行公理，由于對(duì)這一公理的不同認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致非歐幾何的產(chǎn)生。按所討論的圖形在平面上或空間中，分別稱為“平面幾何”與“立體幾何”。數(shù)

2、學(xué)上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基于點(diǎn)線面假設(shè)。數(shù)學(xué)家也用這一術(shù)語表示具有相似性質(zhì)的高維幾何。其中公設(shè)五又稱之為平行公設(shè)（ParallelAxiom），敘述比較復(fù)雜，這個(gè)公設(shè)衍生出“三角形內(nèi)角和等于一百八十度”的定理。在高斯（F.Gauss,1777年—1855年）的時(shí)代，公設(shè)五就備受質(zhì)疑，俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（NikolayIvanovitchLobachevski）、匈牙利人波約（Bolyai）闡明第五公設(shè)只是公理系統(tǒng)的一種可能選擇，并非必然的幾何真理，也就是“三角形內(nèi)角和不一定等于一百八十度”，從而發(fā)現(xiàn)非歐幾里得的幾何學(xué)，即

3、“非歐幾何”（non-Euclideangeometry）。平行公理并不像其他公理那么顯然。許多幾何學(xué)家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀(jì)，通過構(gòu)造非歐幾里得幾何，說明平行公理是不能被證明的（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對(duì)幾何）。從另一方面講，歐幾里得幾何的五條公理(公設(shè))并不完備。例如，該幾何中的所有定理：任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進(jìn)行構(gòu)造：以線段為半徑，分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心作圓，將兩個(gè)圓的交點(diǎn)作為三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)。然而，他的公理并不保證這兩個(gè)圓必定相交。因此，許多公理系統(tǒng)的

4、修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統(tǒng)。歐氏幾何是歐幾里德幾何學(xué)的簡稱，其創(chuàng)始人是公元前三世紀(jì)的古希臘偉大數(shù)學(xué)家歐幾里德。在他以前，古希臘人已經(jīng)積累了大量的幾何知識(shí)，并開始用邏輯推理的方法去證明一些幾何命題的結(jié)論。歐幾里德這位偉大的幾何建筑師在前人準(zhǔn)備的“木石磚瓦”材料的基礎(chǔ)上，天才般地按照邏輯系統(tǒng)??歐幾里得《幾何原本》把幾何命題整理起來，建成了一座巍峨的幾何大廈，完成了數(shù)學(xué)史上的光輝著作《幾何原本》。這本書的問世，標(biāo)志著歐氏幾何學(xué)的建立。這部科學(xué)著作是發(fā)行最廣而且使用時(shí)間最長的書。后又被譯成多種文字，共有二千多種版本。它的問世是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上意

5、義極其深遠(yuǎn)的大事，也是整個(gè)人類文明史上的里程碑。兩千多年來，這部著作在幾何教學(xué)中一直占據(jù)著統(tǒng)治地位，至今其地位也沒有被動(dòng)搖，包括我國在內(nèi)的許多國家仍以它為基礎(chǔ)作為幾何教材。公設(shè)公理歐式幾何的傳統(tǒng)描述是一個(gè)公理、公設(shè)系統(tǒng)，通過有限的公理、公設(shè)來證明所有的“真命題”。歐式幾何的五條公設(shè)是：1、任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過一條直線連接。2、任意線段能無限延長成一條直線。3、給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓。4、所有直角都全等。5、若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。歐式幾何的

6、五條公理是：1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量減等量，其差仍相等。4、彼此能夠重合的物體是全等的。5、整體大于部分。導(dǎo)出命題第五條公理稱為平行公理，可以導(dǎo)出下述命題：通過一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，有且僅有一條與該直線平行的直線。平行公理并不像其他公理那么顯然。許多幾何學(xué)家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀(jì)，通過構(gòu)造非歐幾里德幾何，說明平行公理是不能被證明的。（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對(duì)幾何。）從另一方面講，歐式幾何的五條公理并不完備。例如，該幾何中的有定理：任意線段都是三角形

7、的一部分。他用通常的方法進(jìn)行構(gòu)造：以線段為半徑，分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心作圓，將兩個(gè)圓的交點(diǎn)作為三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)。然而，他的公理并不保證這兩個(gè)圓必定相交。因此，許多公理系統(tǒng)的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統(tǒng)。不朽豐碑歐幾里德將早期許多沒有聯(lián)系和未予嚴(yán)謹(jǐn)證明的定理加以整理，寫下《幾何原本》一書，使幾何學(xué)變成為一座建立在邏輯推理基礎(chǔ)上的不朽豐碑。這部劃時(shí)代的著作共分13卷，465個(gè)命題。其中有八卷講述幾何學(xué)，包含了現(xiàn)在中學(xué)所學(xué)的平面幾何和立體幾何的內(nèi)容。但《幾何原本》的意義卻絕不限于其內(nèi)容的重要，或者其對(duì)定理出色的證明。真正重要的是歐幾里德在書

8、中創(chuàng)造的一種被稱為公理化的方法。詳細(xì)說明在證明幾何命題時(shí)，每一個(gè)命題總是從再前一個(gè)命題推導(dǎo)出來的，而前一個(gè)命