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《熱傳導(dǎo)方程的付氏解課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第八章熱傳導(dǎo)方程的付氏解（HeatconductionequationanditsFouriersolution）學(xué)習(xí)要求1.能建立熱傳導(dǎo)方程2.理解其初始條件與邊界條件3.求混合問(wèn)題的傅氏解4.求初值問(wèn)題的傅氏解5.理解傅氏解的意義6.能解一端有界的熱傳導(dǎo)方程考核知識(shí)點(diǎn)1.能建立熱傳導(dǎo)方程2.定解條件—混合問(wèn)題（第一邊界條件：兩端點(diǎn)溫度為0，初始條件：t=0時(shí)各點(diǎn)的溫度）3.混合問(wèn)題的傅氏解4.初值問(wèn)題的傅氏解5.一端有界方程的定解在固體中的熱傳導(dǎo)方程如果空間某物體內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就會(huì)從溫度較高的點(diǎn)向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)，這種現(xiàn)
2、象就叫做熱傳導(dǎo)。由于熱量的傳導(dǎo)過(guò)程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和點(diǎn)的位置的不同而變化，因此解決熱傳導(dǎo)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求物體內(nèi)部溫度的分布。我們用表示物體內(nèi)一點(diǎn)在t時(shí)刻的溫度，來(lái)研究在熱傳導(dǎo)過(guò)程中，溫度函數(shù)所滿(mǎn)足的偏微分方程。第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程和擴(kuò)散方程的建立截面積為A的均勻細(xì)桿，側(cè)面絕熱，沿桿長(zhǎng)方向有溫差，求熱量的流動(dòng)的方程。物理模型xAu(x,t)表示x點(diǎn)在時(shí)刻t的溫度在 內(nèi)沿x軸正向流過(guò)微元截面的熱量 有：負(fù)號(hào)表示熱量流動(dòng)的方向與溫度梯度的方向相反。幾個(gè)概念比熱c：?jiǎn)挝毁|(zhì)量物體，溫度升高一度所需的熱量。熱流密度：?jiǎn)挝粫r(shí)間流過(guò)單位面積的熱量熱源
3、強(qiáng)度：?jiǎn)挝粫r(shí)間單位體積放出的熱量本例熱源強(qiáng)度為0。分析研究問(wèn)題：由熱溫差造成的熱量流動(dòng)已知：比熱c、密度?、熱傳導(dǎo)系數(shù)k、熱源密度為0所求溫度u=u(x,t)是一維問(wèn)題以細(xì)桿為模型考察桿內(nèi)熱量傳播的過(guò)程。用微元分析法來(lái)導(dǎo)出函數(shù)u(x,t)所滿(mǎn)足的偏微分方程.即:引起溫度變化所吸取的熱量ΔQ=流入的熱量ΔQ’若細(xì)桿的密度?，則微元的質(zhì)量為?AΔx．在時(shí)間內(nèi)溫度升高為：熱傳導(dǎo)理論的付里葉試驗(yàn)定律，在 內(nèi)沿 軸正向流過(guò)微元截面的熱量 有：熱傳導(dǎo)方程的建立K>0稱(chēng)為熱傳導(dǎo)系數(shù)．（負(fù)號(hào)表示熱量從高溫流到低溫）在 時(shí)間內(nèi)流過(guò) 截面的熱量
4、 為：流入微元的熱量 等于流入微元的熱量減去流出的熱量即：利用中值定理，上式變形為：其中令 從而 可得：其中 這就是熱傳導(dǎo)方程．若細(xì)桿內(nèi)存在熱源則在上述熱傳導(dǎo)方程右邊應(yīng)加一個(gè)非齊次項(xiàng) 而成為：由熱平衡方程 可得：研究氣體的擴(kuò)散,液體的滲透,半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散，或神經(jīng)細(xì)胞的動(dòng)作電位、某些金融現(xiàn)象的模型，諸如布萊克-斯科爾斯模型與Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程等都符合熱傳導(dǎo)方程第二節(jié) 擴(kuò)散方程的建立如右圖：設(shè)為一半導(dǎo)體材料，x表示x處的橫截面積為A．用N表示
5、雜質(zhì)濃度，N是時(shí)間和位置x的函數(shù)，即N＝N（x,t).考察x處厚為Δx的微元，體積為含雜質(zhì)質(zhì)量為：在t到t+Δt的時(shí)間間隔內(nèi),雜質(zhì)的增量為：擴(kuò)散理論中的涅恩斯特實(shí)驗(yàn)定律有：其中D>０稱(chēng)為擴(kuò)散系數(shù)．（負(fù)號(hào)表示雜質(zhì)分子從濃度高處向低流）在x+Δx,截面處于時(shí)間Δt內(nèi)流過(guò)截面的質(zhì)量為：于是，在時(shí)間Δt內(nèi)，流入微元雜質(zhì)的質(zhì)量為：由質(zhì)量守恒可知：即：令 得：這就是擴(kuò)散方程．如記D＝a2,就與熱傳導(dǎo)方程一樣．第三節(jié) 定解條件以細(xì)桿為例，其初始條件為：其邊界條件有三種提法第二邊界條件：第三邊界條件：其中 為已知函數(shù)，k為熱傳導(dǎo)
6、系數(shù)，h為熱交換系數(shù)．第一邊界條件：（ ）與波動(dòng)方程一樣，要具體確定熱傳導(dǎo)方程的解，還要給出其定解條件，從物理上知，只要知道物體的初溫分布和邊界上的溫度就可以了。第二節(jié)混合問(wèn)題的付氏解法考察齊次方程在齊次邊界條件下的混合問(wèn)題:其中為以知函數(shù).解法如下:(8.1)(8.3)(8.4)代入方程(8.1),兩端除以得到:其中是常數(shù),由此更得:由邊界條件(8.3)給出為決定函數(shù),我們求一個(gè)特征值問(wèn)題:當(dāng)?shù)闹档扔?此時(shí),上述特征值問(wèn)題才有非零解:又方程對(duì)應(yīng)于的解為:其中是積分常數(shù).于是函數(shù)(8.5)它滿(mǎn)足邊界條件(8.3),要使它滿(mǎn)足初始條
7、件(8.4)則必須:上述函數(shù)是方程(8.1)滿(mǎn)足邊界條件(8.3)的解.為了滿(mǎn)足初始條件(8.4)的解,我們把加起來(lái)組成一個(gè)級(jí)數(shù),令從而定出的值為:(8.6)非齊次熱傳導(dǎo)方程帶有非齊次邊界條件的定解問(wèn)題第三節(jié)初值問(wèn)題的付氏解法§8.3.1付氏積分在一定情況下,付氏級(jí)數(shù)變成一個(gè)積分形式,稱(chēng)之為付氏積分.設(shè)定義在內(nèi),且在任一有限區(qū)間上分段光滑,則可以展開(kāi)為付氏級(jí)數(shù):(8.7)其中將帶入級(jí)數(shù)(8.7),得現(xiàn)設(shè)在上絕對(duì)可積,即:有限值,那么當(dāng)時(shí),若記則上列極限又可以寫(xiě)成:由于被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù),因此上式可變?yōu)?(8.8)上式稱(chēng)為的付氏積分.可
8、以證明,在及的連續(xù)點(diǎn)處,的付氏積分收斂于它的函數(shù)值.(8.8)還可以寫(xiě)為(8.9)其中(8.10)§8.3.2.利用付氏積分解熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題我們來(lái)求解熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題:其中為已知函數(shù).(8.1)(
