資源描述：
《多元函數(shù)最值的求解策略》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、１１８數(shù)學(xué)通訊———２０１１年第７、８期（上半月）·課外園地·多元函數(shù)最值的求解策略安振平（陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心，７１２０００）多元函數(shù)最值問題是高中各級各類數(shù)學(xué)競賽２２２－槡１０２０（３ｔ－６ｔ）≥０，即２ｔ－４ｔ－３≤０，解得的熱門話題，總結(jié)求解策略，探求解答通性通法，２整合該類競賽試題，將對參加數(shù)學(xué)競賽的師生提２＋槡１０≤ｔ≤．供有益的課程資源．２１．配方變形法故ｘ＋ｙ的最大值是２＋槡１０，應(yīng)填１＋槡１０．２２例１（２００８年河北高中預(yù)賽題）已知ａ＞ｂ，２２點評：用到了代入法消元、判別式
2、法消元．ａ＋ｂａｂ＝１，則的最小值是（）ａ－ｂ練習(xí)：（２００６年上海高中競賽題）設(shè)ｘ，ｙ，ｚ是（Ａ）２槡２．（Ｂ）槡２．（Ｃ）２．（Ｄ）１．正實數(shù)，滿足ｘｙ＋ｚ＝（ｘ＋ｚ）（ｙ＋ｚ），則ｘｙｚ的最大值是．解利用配方法，得２２２２１ａ＋ｂａ－２ａｂ＋ｂ＋２ａｂ（答案：．提示：由條件等式解出ｙ，代入ｙ＝＝２７ａ－ｂａ－ｂ（ａ－ｂ）２＋２２ｘｙｚ里，消去ｙ，再變形后用三元均值不等式．）＝＝（ａ－ｂ）＋ａ－ｂａ－ｂ３．換元轉(zhuǎn)化法例３（２００８年浙江高中預(yù)賽題）已知ｆ（ｘ）２）２＝（槡ａ－ｂ－＋２槡２，２２２２２槡ａ－ｂ
3、＝ｘ＋（ａ＋ｂ－１）ｘ＋ａ＋２ａｂ－ｂ是偶函數(shù)，２則函數(shù)圖象與ｙ軸交點的縱坐標(biāo)的最大值是當(dāng)槡ａ－ｂ＝，且ａｂ＝１，ａ＞ｂ，即ａ＝槡ａ－ｂ（）槡６＋槡２，ｂ＝槡６－槡２時，ｙ，應(yīng)選（Ａ）．（Ａ）槡２．（Ｂ）２．ｍｉｎ＝２槡２２２（Ｃ）２槡２．（Ｄ）４．點評：配方法是數(shù)學(xué)解題的通性方法，它可以解因為函數(shù)ｆ（ｘ）是偶函數(shù)，所以ａ２２＋ｂ－分離出非負的代數(shù)關(guān)系．其實，二元均值不等式就２２１＝０，即ａ＋ｂ＝１，令ａ＝ｃｏｓθ，ｂ＝ｓｉｎθ，則函是配方的結(jié)果呀！數(shù)圖象與ｙ軸交點的縱坐標(biāo)ａ２２２＋２ａｂ－ｂ＝ｃｏｓθ練習(xí)：（
4、２００８年陜西高中預(yù)賽題）若實數(shù)ｘ，ｙ２＋２ｓｉｎθｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ＝槡２ｃｏｓ（２θ２２２ｘｙ滿足ｘ＋ｙ＝１，則的最小值是．ｘ＋ｙ－１－π）≤槡２，故選（Ａ）．４（答案：１－槡２．提示：２ｘｙ＝ｘ２２＋ｙ＋２ｘｙ－點評：這里的三角換元，其實就是圓的參數(shù)２１＝（ｘ＋ｙ）－１．）方程．２．消元化簡法練習(xí)：（２００８年甘肅高中預(yù)賽題）若實數(shù)ｘ，ｙ例２（２００９年江西高中預(yù)賽題）實數(shù)ｘ，ｙ滿２２ｘ＋ｙ－３足２ｘ２＋３ｙ２＝６ｙ，則ｘ＋ｙ的最大值是．滿足（ｘ－３）＋４（ｙ－１）＝４，則ｘ－ｙ＋
5、１的最大解設(shè)ｘ＋ｙ＝ｔ，得ｙ＝ｔ－ｘ，代入條件２ｘ２值和最小值分別為．２２２＋３ｙ＝６，消去ｙ得２ｘ＋３（ｔ－ｘ）＝６（ｔ－ｘ），（答案：１，－１．提示：用三角換元求解．）變形得關(guān)于ｘ的一元二次方程５ｘ２＋６（１－ｔ）ｘ＋４．?dāng)?shù)形結(jié)合法２３ｔ－６ｔ＝０．例４（２００４年福建預(yù)賽題）如果實數(shù)ｘ，ｙ滿因為ｘ是實數(shù)，所以判別式３６（１－ｔ）２２２－足３ｘ＋２ｙ－１≥０，那么ｕ＝ｘ＋ｙ＋６ｘ－２ｙ的·課外園地·數(shù)學(xué)通訊———２０１１年第７、８期（上半月）１１９最小值為．ｘ＝槡５－１時，ｆｍａｘ＝ｆ（槡５－１）＝５槡５－
6、１１．于解將目標(biāo)函數(shù)變形為ｕ＝（ｘ＋３）２２２２＋（ｙ－２１）－１０，這表示半平面３ｘ＋２ｙ－１≥０內(nèi)的點到５５－１１１３－５槡５是Ｔ≤槡，從而Ｓ≥，定點（－３，１）的距離的平方與１０的差．由于半平２２面３ｘ＋２ｙ－１≥０內(nèi)的點到定點（－３，１）的最小當(dāng)ａ＝ｂ＝槡５－１時等號成立，所以，Ｓ的最２值為點（－３，１）到直線３ｘ＋２ｙ－１＝０的距離ｄ＝１３－５槡５－９＋２－１＝８，于是，ｕ的最小值為ｕ小值為．ｍｉｎ＝２槡１３槡１３點評：對多元函數(shù)的表示式變形后，舍去了非（８）２－１０＝－６６，應(yīng)當(dāng)填－６６．負項，求得
7、了最大值；用二元均值不等式放大后，槡１３１３１３通過換元，把二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再構(gòu)造函點評挖掘問題當(dāng)中隱藏的幾何意義，實現(xiàn)數(shù)，用求導(dǎo)法求最小值．顯然，在整個解題思維的數(shù)和形的有效結(jié)合．過程里，“放大”和“縮小”起到了有效的作用．練習(xí)：（２００８年湖北高中預(yù)賽題）已知三個正練習(xí)：（２００８年河南高中預(yù)賽題）設(shè)０＜ｘ＜數(shù)ａ，ｂ，ｃ滿足ａ≤ｂ＋ｃ≤３ａ，３ｂ２≤ａ（ａ＋ｃ）≤２１，０＜ｙ＜１，且（１－ｘｙ）＝２（１－ｘ）（１－ｙ），則５ｂ２，則ｂ－２ｃ的最小值是．１ａ函數(shù)ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ（１－ｘｙ）的最大值為
8、．２１８ｂｃ（答案：－．提示：令ｘ＝，ｙ＝，則有（答案：５槡２－７．提示：設(shè)ｔ＝ｘｙ，則ｔ∈（０，５ａａ１≤ｘ＋ｙ≤３，１），由題設(shè)有１－ｔ≤槡２（１－槡ｔ），得０≤ｔ≤３－２烄２２，而目標(biāo)函數(shù)為ｕ＝ｘ－２ｙ．）１烅３ｘ≤１＋ｙ≤５ｘ槡２，ｆ（ｘ，ｙ）＝ｔ（１－ｔ）．）２烆ｘ＞０，ｙ＞０．６．待定系數(shù)法５．放大縮小法例６（２００９年浙江高中預(yù)賽題）實數(shù)ｘ，ｙ，ｚ例５（２００６年上海高中
