函數(shù)最值問題求解策略.doc

《函數(shù)最值問題求解策略.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、函數(shù)最值求解策略函數(shù)最值問題求解策略055350河北隆堯一中焦景會(huì)最值問題遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各科之中，在生產(chǎn)實(shí)踐中也有廣泛的應(yīng)用。最值問題長期是各類考試的熱點(diǎn)，求函數(shù)最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函數(shù)最值或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)最值的基本方法，形如的函數(shù)最值問題，均可使用配方法。例1、已知，求函數(shù)最值。解：由，得。又函數(shù)f(x)定義域[1,3]，所以函數(shù)定義域?yàn)?，解得，所以。由二次函?shù)單調(diào)性得，，所求函數(shù)最大值為，最小值為6。評(píng)注:利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值要注意到自變量的取值范圍，和對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系

2、。二、判別式法主要適用于可化為關(guān)于x的二次方程的函數(shù),把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，通過方程F(x,y)=0有實(shí)根，判別式，當(dāng)x的范圍是R時(shí),僅考慮即可,當(dāng)X的范圍非R時(shí),還需要結(jié)合圖形另解不等式。特別的，形如不同是為0）分子、分母無公因式的函數(shù)最值常用此法。例2、求下列函數(shù)最值（1）；（2）。解；（1）由，得。當(dāng)y=0時(shí),x=0;當(dāng)時(shí),由得,故原函數(shù)最小值為，最大值為。（2）將已知函數(shù)式變形為,焦景會(huì)第4頁2021-7-28函數(shù)最值求解策略即，顯然，將上式視做關(guān)于x的一元二次方程。,即上述關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根，所以，解得。

3、又，函數(shù)最小值為。評(píng)注:若在解的過程中經(jīng)過變形,從而擴(kuò)大了的取值范圍,利用判別式求出的范圍后，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域,將擴(kuò)大部分剔除。三、換元法主要有三角換元和代數(shù)換元換兩種。用換元法時(shí),要特別關(guān)注中間變量的取值范圍。特別的，形如均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。例3、求函數(shù)最小值。解：令，則，則，所以，所求函數(shù)最小值為。注：（1）換元前后的等價(jià)性。題中，而不是看解析式有意義的t取值范圍；（2）換元后可操作性。例4、?求函數(shù)的最大值和最小值。解:，令x=tan，則f(x)=f(θ)=，∴當(dāng)sinθ=時(shí),最大值為，當(dāng)sin=-1時(shí),最小值為

4、。四、數(shù)形結(jié)合法主要適用于具有幾何意義的函數(shù),通過函數(shù)的圖象求最值。例5、　已知x2+y2-2x+4y-20=0求x2+y2的最值。分析:本題已知條件轉(zhuǎn)化為(x-1)2+(y+2)2=25,可用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題處理,也可借助幾何圖形數(shù)形結(jié)合處理。解:　作x2+y2-2x+4y-20=0的圖形,它是圓心在P(1,-2)半徑為5的圓,依題意有x2+y2焦景會(huì)第4頁2021-7-28函數(shù)最值求解策略=2x-4y+20,設(shè)x2+y2=z,則z=2x-4y+20即,其圖形是斜率為且與已知圓相交的一簇平行線,于是求z的最值問題就是求

5、這簇平行線中在y軸的截距最大或最小問題。由平面幾何知識(shí)知,圓心P(1,-2)到切線2x-4y+20-z=0的距離小于或等于半徑,即，即，故，故x2+y2最小值為，最大值為。五、函數(shù)的單調(diào)性法（1）關(guān)于自變量x的一次根式，如，用換元法求解,當(dāng)ad>0時(shí)，也可利用單調(diào)性求最值；；（2）形如的函數(shù)常考慮利用單調(diào)性，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為，因其函數(shù)圖象形如“√”，故稱為對(duì)號(hào)函數(shù)，其分界點(diǎn)為。對(duì)于x<0情況，可依據(jù)函數(shù)奇偶性解決；（3）復(fù)合函數(shù)的最值，常用此法求解。例6、求函數(shù),的最小值。解：由在上是增函數(shù)，得f(x)在上最小

6、值為。例8、求函數(shù)的最小值解：設(shè)，均為減函數(shù)，所以y也是減函數(shù)。又定義域?yàn)?，即。?dāng)時(shí)，，故原函數(shù)最小值為。例7、求函數(shù)的最小值。解：設(shè)，則。由，知當(dāng)時(shí)，u為減函數(shù)；當(dāng)時(shí),u為增函數(shù)，而為減函數(shù)，故在時(shí)為增函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，所以時(shí)，原函數(shù)最小值為。六、不等式法運(yùn)用不等式法求最值必須關(guān)注三個(gè)條件即”一正、二定、三相等”．焦景會(huì)第4頁2021-7-28函數(shù)最值求解策略例8、求函數(shù)(x>-1，a>0)的最小值。解:=，當(dāng),即x=0時(shí)等號(hào)成立,=1。七、導(dǎo)數(shù)法設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)在(a,b)上可導(dǎo),則f(x)在[a,b]上的最大值

7、和最小值應(yīng)為f(x)在(a,b)內(nèi)的各極值與f(a),f(b)中的最大值和最小值。例9、　?動(dòng)點(diǎn)P(x,y)是拋物線y=x2-2x-1上的點(diǎn),O為原點(diǎn),當(dāng)x=2時(shí)，取得極小值,求的最小值。解:=x2+y2=x2+(x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1，令f(x)=x4-4x3+3x2+4x+1,則=4x3-12x2+6x+4=4(x-2)(x-)(x-,令=0,得x=2,,x2(2,)f(x)-0+0-0+f(x)極小值極大值極小值因定義域?yàn)镽,故所求最小值為兩個(gè)極小值中較小的一個(gè),f()=，f(2)=5,故f(x)的最

8、小值，即的最小值為。焦景會(huì)第4頁2021-7-28