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《函數(shù)最值問題求解策略》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、函數(shù)最值求解策略蚇羄膆薀蝿膀肂蕿袁羂蒁蕿蟻螅莇薈螃肁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄蚄螀肇芀蚃袂袀膆蚃薂肆膂螞螄袈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蠆蠆膂膈芆螁羅肄蒞袃膀莃莄薃羃艿莃蚅腿芅莂袇羂膁莁羀襖葿莀蠆肀蒞莀螂袃芁荿襖肈膇蒈薄袁肅蕆蚆肆莂蒆螈衿莈蒅羈膅芄蒅蝕羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆莄蒂薅膁芀薁蚇羄膆薀蝿膀肂蕿袁羂蒁蕿蟻螅莇薈螃肁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄蚄螀肇芀蚃袂袀膆蚃薂肆膂螞螄袈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蠆蠆膂膈芆螁羅肄蒞袃膀莃莄薃羃艿莃蚅腿芅莂袇羂膁莁羀襖葿莀蠆肀蒞莀螂袃芁荿襖肈膇蒈薄袁肅蕆蚆肆莂蒆螈衿莈蒅羈膅芄蒅蝕羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆莄蒂薅膁芀薁蚇羄
2、膆薀蝿膀肂蕿袁羂蒁蕿蟻螅莇薈螃肁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄蚄螀肇芀蚃袂袀膆蚃薂肆膂螞螄袈蒀蟻袇膄莆蝕罿羇節(jié)蠆蠆膂膈芆螁羅肄蒞袃膀莃莄薃羃艿莃蚅腿芅莂袇羂膁莁羀襖葿莀蠆肀蒞莀螂袃芁荿襖肈膇蒈薄袁肅蕆蚆肆莂蒆螈衿莈蒅羈膅芄蒅蝕羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆莄蒂薅膁芀薁蚇羄膆薀蝿膀肂蕿袁羂蒁蕿蟻螅莇薈螃肁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄蚄螀肇芀函數(shù)最值問題求解策略最值問題遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各科之中，在生產(chǎn)實(shí)踐中也有廣泛的應(yīng)用。最值問題長(zhǎng)期是各類考試的熱點(diǎn)，求函數(shù)最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函數(shù)最值或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)最
3、值的基本方法，形如的函數(shù)最值問題，均可使用配方法。例1、已知，求函數(shù)最值。解：由，得。又函數(shù)f(x)定義域[1,3]，所以函數(shù)定義域?yàn)?，解得，所以。由二次函?shù)單調(diào)性得，，所求函數(shù)最大值為，最小值為6。評(píng)注:利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值要注意到自變量的取值范圍，和對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系。二、判別式法主要適用于可化為關(guān)于x的二次方程的函數(shù),把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，通過方程F(x,y)=0有實(shí)根，判別式，當(dāng)x的范圍是R時(shí),僅考慮即可,當(dāng)X的范圍非R時(shí),還需要結(jié)合圖形另解不等式。特別的，形如不同是為0）分子、分母無公因式的函
4、數(shù)最值常用此法。例2、求下列函數(shù)最值（1）；（2）。解；（1）由，得。當(dāng)y=0時(shí),x=0;當(dāng)時(shí),由得,故原函數(shù)最小值為，最大值為。（2）將已知函數(shù)式變形為,即，顯然，將上式視做關(guān)于x的一元二次方程。焦景會(huì)第4頁2021-9-15函數(shù)最值求解策略,即上述關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根，所以，解得。又，函數(shù)最小值為。評(píng)注:若在解的過程中經(jīng)過變形,從而擴(kuò)大了的取值范圍,利用判別式求出的范圍后，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域,將擴(kuò)大部分剔除。三、換元法主要有三角換元和代數(shù)換元換兩種。用換元法時(shí),要特別關(guān)注中間變量的取值范圍。特別的，形如均為常數(shù)，且）
5、的函數(shù)常用此法求解。例3、求函數(shù)最小值。解：令，則，則，所以，所求函數(shù)最小值為。注：（1）換元前后的等價(jià)性。題中，而不是看解析式有意義的t取值范圍；（2）換元后可操作性。例4、?求函數(shù)的最大值和最小值。解:，令x=tan，則f(x)=f(θ)=，∴當(dāng)sinθ=時(shí),最大值為，當(dāng)sin=-1時(shí),最小值為。四、數(shù)形結(jié)合法主要適用于具有幾何意義的函數(shù),通過函數(shù)的圖象求最值。例5、 已知x2+y2-2x+4y-20=0求x2+y2的最值。分析:本題已知條件轉(zhuǎn)化為(x-1)2+(y+2)2=25,可用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題處理,也
6、可借助幾何圖形數(shù)形結(jié)合處理。解: 作x2+y2-2x+4y-20=0的圖形,它是圓心在P(1,-2)半徑為5的圓,依題意有x2+y2=2x-4y+20,設(shè)x2+y2=z,則z=2x-4y+20即,其圖形是斜率為焦景會(huì)第4頁2021-9-15函數(shù)最值求解策略且與已知圓相交的一簇平行線,于是求z的最值問題就是求這簇平行線中在y軸的截距最大或最小問題。由平面幾何知識(shí)知,圓心P(1,-2)到切線2x-4y+20-z=0的距離小于或等于半徑,即，即，故，故x2+y2最小值為，最大值為。五、函數(shù)的單調(diào)性法（1）關(guān)于自變量x的一次根式，如，
7、用換元法求解,當(dāng)ad>0時(shí)，也可利用單調(diào)性求最值；；（2）形如的函數(shù)?？紤]利用單調(diào)性，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為，因其函數(shù)圖象形如“√”，故稱為對(duì)號(hào)函數(shù)，其分界點(diǎn)為。對(duì)于x<0情況，可依據(jù)函數(shù)奇偶性解決；（3）復(fù)合函數(shù)的最值，常用此法求解。例6、求函數(shù),的最小值。解：由在上是增函數(shù)，得f(x)在上最小值為。例8、求函數(shù)的最小值解：設(shè)，均為減函數(shù)，所以y也是減函數(shù)。又定義域?yàn)?，即。?dāng)時(shí)，，故原函數(shù)最小值為。例7、求函數(shù)的最小值。解：設(shè)，則。由，知當(dāng)時(shí)，u為減函數(shù)；當(dāng)時(shí),u為增函數(shù)，而為減函數(shù)，故在時(shí)為增函數(shù)，在時(shí)為
8、減函數(shù)，所以時(shí)，原函數(shù)最小值為。六、不等式法運(yùn)用不等式法求最值必須關(guān)注三個(gè)條件即”一正、二定、三相等”．焦景會(huì)第4頁2021-9-15函數(shù)最值求解策略例8、求函數(shù)(x>-1，a>0)的最小值。解:=，當(dāng),即x=0時(shí)等號(hào)成立,=1。七、導(dǎo)數(shù)法設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)在(
