13.4最短路徑問題 課件

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1、我們把研究關(guān)于“兩點(diǎn)之間,線段最短”“垂線段最短”等問題,稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常碰到,今天我們就通過幾個實(shí)際問題,具體體會如何運(yùn)用所學(xué)知識選擇最短路徑.新課引入第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題問題1相傳,古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者,名叫海倫.有一天,一位將軍專程拜訪海倫,求教一個百思不得其解的問題:如圖,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?ABl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索,利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“

2、將軍飲馬問題”.你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎?lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí),AC與BC的和最???分析:ABl如圖,點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點(diǎn),如何在l上找到一個點(diǎn),使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短?聯(lián)想:兩點(diǎn)之間,線段最短.lABCB(1)這兩個問題之間,有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?(2)我們能否把左圖A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢?(3)利用什么知識可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)?分析:lABClABClABCB′如圖,作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′.當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí),AC與CB′的和最小?在連接AB′兩點(diǎn)的線中,線段

3、AB′最短.因此,線段AB′與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.在直線l上任取另一點(diǎn)C′,連接AC′、BC′、B′C′.∵直線l是點(diǎn)B、B′的對稱軸,點(diǎn)C、C′在對稱軸上,∴BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+B′C=AB′.在△AB′C′中,AB′

4、決實(shí)際問題ABl問題2(造橋選址問題)如圖,A和B兩地在同一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直.)思考:你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎?如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是AM+MN+BN,那么折線AMNB在什么情況下最短呢?aBAbMN由于河寬是固定的,因此當(dāng)AM+NB最小時(shí),AM+MN+NB最小.分析:lABCaBAbMNA'如圖,如果將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移到點(diǎn)A′,使AA′等于河寬,則AA′=MN,AM=A′N,問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)

5、點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí),A′N+NB最???參考右圖,利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”可以解決.如圖,沿垂直于河岸的方向平移A到A′,使AA′等于河寬,連接A′B交河岸于點(diǎn)N,在點(diǎn)N處造橋MN,此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解:另任意造橋M′N′,連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知,AM=A′N,AM′=A′N′,AA′=MN=M′N′.∴AM+MN+BN=AA′+A′B,AM′+M′N′+BN′=AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中,由線段公理知A′N′+BN′>A′B,∴AM′+M′N′+BN′>AM+MN+BN

6、.證明:aBAbMNA'N′M′總結(jié)歸納:在解決最短路徑問題時(shí),我們通常利用軸對稱、平移等變換,把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題,從而作出最短路徑的選擇。問題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問題lABC小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱變換平移變換兩點(diǎn)之間,線段最短.1.如圖,直線l是一條河,P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站,向P、Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案,圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道,則所需要管道最短的是()PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD嘗試應(yīng)用:2.如圖,牧童在A處放馬,其家在B處,A、

7、B到河岸的距離分別為AC和BD,且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米,則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家,所走的最短距離是米.ACBD河10004、如圖所示,M、N是△ABC邊AB與AC上兩點(diǎn),在BC邊上求作一點(diǎn)P,使△PMN的周長最小。M’P歸納總結(jié)本節(jié)課你有什么收獲?①學(xué)習(xí)了利用軸對稱解決最短路徑問題②感悟和體會轉(zhuǎn)化的思想補(bǔ)償提高如圖,一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客,然后將游客送往河岸BC上,再返回P處,請畫出旅游船的最短路徑.ABCPQ山河岸大橋思路分析:由于兩點(diǎn)之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段P

8、Q為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P,Q在直線BC的同側(cè),如何在BC上找到一點(diǎn)R,使PR與QR的和最小”.ABCPQ山河

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