孿生素數(shù)猜想

《孿生素數(shù)猜想》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、萬方數(shù)據(jù)2014年第53卷第1期數(shù)學通報1孿生素數(shù)猜想劉建亞(山東大學250100)數(shù)論又名高等算術(shù)，是研究整數(shù)性質(zhì)的學問．然而數(shù)論并不簡單．高斯說：“數(shù)學是科學的女王，而數(shù)論是數(shù)學的王冠．”1素數(shù)與孿生素數(shù)猜想’數(shù)學建立在數(shù)系的基礎上；整數(shù)是非?；镜?，然而有一類比整數(shù)更基本的數(shù)，即是素數(shù)．設P是一個大于1的整數(shù)，若P只有1與P兩個因子，則稱P為素數(shù)．也就是說，素數(shù)不能分解為兩個都小于它的因子之積．素數(shù)的序列是：2，3，5，7，11，13，17，?．素數(shù)之所以重要，是因為任何大于1的整數(shù)都可以分解為素數(shù)的乘積，而且這個乘積具有唯一性．這個結(jié)論被稱為算術(shù)基本

2、定理．因此，素數(shù)表之于數(shù)學，正如《化學元素周期表》之于化學．素數(shù)如此重要，但是素數(shù)的分布似乎沒什么規(guī)律．如果查看數(shù)軸，很難預測哪個大整數(shù)是素數(shù)．實際上，似乎不可能發(fā)現(xiàn)素數(shù)出現(xiàn)的任何具體規(guī)律，也就是說，我們還沒有辦法寫一個通項公式，使其每項都產(chǎn)生素數(shù)．古希臘人已經(jīng)知道，素數(shù)有無窮多，其證明發(fā)表于歐幾里得的《幾何原本》．任意取一個大整數(shù)k，一定可以在數(shù)軸上找到長度為k的區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)沒有素數(shù)．也就是說，相鄰素數(shù)之差可能大于任何事先給定的正數(shù)．另一方面，除了2之外，其他的素數(shù)都是奇數(shù)，它們之間的最小可能的間隔是2．若一對素數(shù)之差是2，則稱它們?yōu)橐粚\生素數(shù)；比如

3、3與5，5與7，11與13，等等．孿生素數(shù)初看起來貌似很多，但是不難發(fā)現(xiàn)它們越來越稀疏，且沒有規(guī)律．一個自然而古老的猜測斷言，存在無窮多對孿生素數(shù)．這就是所謂的孿生素數(shù)猜想．2高斯猜想與黎曼猜想我們可以在數(shù)軸上取一個很大的X，這個X可以趨向于無窮大，然后研究X前面有多少個素數(shù)，即不超過X的素數(shù)的個數(shù)．記不超過X的素數(shù)的個數(shù)為兀(z)，我們關心兀(z)和z之間的關系．從歐幾里得知道，當z趨于無窮大時，丌(z)也趨于無窮大．1792年，高斯進一步猜測，7c(z)大約是x／logz，而且z越大這個近似越精確，這里的log是自然對數(shù)．高斯猜想給出了，當z增大的時候，

4、不超過X的素數(shù)個數(shù)的增加速度．這個猜想指出，素數(shù)在不超過z的整數(shù)集合中密度是1／logz；因此當z趨于無窮大時，這個密度趨于零．為了證明高斯的這個猜想，黎曼提出并發(fā)展了zeta函數(shù)理論．他在1859年作了一個演講，題為《論不超過一個給定值的素數(shù)的個數(shù)》．在演講中，他定義了zeta函數(shù)，證明了這個函數(shù)有無窮多個非顯然零點．根據(jù)代數(shù)基本定理，一個多項式零點的個數(shù)等于其次數(shù)；而zeta函數(shù)有無窮多個零點，因此肯定是一個超越函數(shù)．黎曼證明，這無窮多個非顯然零點都落在實部介于0與1之間的豎直帶形之內(nèi)，而且關于帶形的豎直中軸線對稱．但黎曼不能排除零點落在帶形邊界上的可能

5、性．到此，人們不禁會問，研究丌(z)貌似一件數(shù)手指頭的事情，但黎曼沒數(shù)手指頭，而是定義了一個zeta函數(shù)，還證明了它有無窮多個零點，黎曼這是在研究高斯猜想嗎?事實上，黎曼還證明了，如果帶形的邊界上沒有zeta函數(shù)的零點，高斯猜想就正確!這是非常令人震驚的．實際上，可以認為這是數(shù)學史上關于數(shù)學內(nèi)在聯(lián)系的最深刻的結(jié)果之一．黎曼自己沒來得及給出證明就去世了，但他提供了研究高斯猜想的正確方法，即用分析方法去研究數(shù)論——這就是解析數(shù)論．沿著黎曼指明的方向，在高斯猜想提出一百余年之后，阿達瑪(J．Hadamard)與德·拉·瓦雷普桑(C．delaValleePoussi

6、n)分別給出了高斯萬方數(shù)據(jù)2數(shù)學通報2014年第53卷第1期猜想證明．自此，高斯猜想被稱為素數(shù)定理．在那個著名的演講中，黎曼還提出了一個猜想：zeta函數(shù)所有非顯然零點只能落在帶形的豎直中軸線上．這個猜想的提出，既有美學的原因，也有科學依據(jù)．首先，黎曼肯定相信高斯猜想是正確的．要想證明高斯猜想正確，帶形邊界上就不應該有零點．既然零點越靠邊界其作用就越壞，那么，肯定零點越靠近中軸線越好．而且黎曼知道零點是關于中軸線對稱的，若所有零點都落在中軸線上，當然自己和自己對稱，世界將何其完美!然而，任何一個猜想，不管在美學上是多么完美，如果沒有一定的事實來支持，也是不可

7、信的．黎曼手算了三個零點，結(jié)果都落在中軸線上．黎曼猜想等價于素數(shù)定理具有最佳可能的余項．黎曼猜想到現(xiàn)在還沒有得到證明．到現(xiàn)在為止，利用計算機演算出來的非顯然零點，都落在中軸線上．這肯定讓迷信計算機的人非常沮喪．2000年，美國克雷數(shù)學研究所公布了7個千禧數(shù)學問題，黎曼猜想名列其中．早在1900年，希爾伯特(D．Hilbert)列出23個數(shù)學問題，其中第8問題中便有黎曼猜想，還包括孿生素數(shù)猜測和哥德巴赫猜想．3與哥德巴赫猜想平行的孿生素數(shù)猜想上個世紀六十、七十年代，哥德巴赫猜想的研究如火如荼，中國數(shù)學家王元、潘承洞、陳景潤先后做出了舉世矚目的貢獻．此段歷史，隨

8、徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》而家喻戶曉，在此不必再