電影院座位設(shè)計(jì)問(wèn)題[1]

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案電影院座位設(shè)計(jì)問(wèn)題一、問(wèn)題的提出下圖為影院的剖面示意圖，座位的滿(mǎn)意程度主要取決于視角α和仰角β。視角α是觀(guān)眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線(xiàn)的夾角，α越大越好；仰角β是觀(guān)眾眼睛到屏幕上邊緣視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角，β太大使人的頭部過(guò)分上仰，引起不舒適感，一般要求β不超過(guò)。設(shè)影院屏幕高h(yuǎn),上邊緣距地面高H，地板線(xiàn)傾角θ，第一排和最后一排座位與屏幕水平距離分別為d和D,觀(guān)眾平均坐高為c（指眼睛到地面的距離）。已知參數(shù)h=1.8，H=5，d=4.5，D=19，c=1.1（單位：m）。(如圖所示)(1)地板線(xiàn)傾角θ＝，試問(wèn)最佳的座位在什么地方。(2)求地板線(xiàn)

2、傾角θ（一般不超過(guò)），使所有觀(guān)眾的平均滿(mǎn)意程度最大。(3)地板線(xiàn)設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高觀(guān)眾的滿(mǎn)意程度。二、問(wèn)題的分析觀(guān)眾在電影院觀(guān)賞電影，感覺(jué)是否滿(mǎn)意不僅取決于電影的精彩與否，而且還取決于座位設(shè)計(jì)的舒適程度.座位的設(shè)計(jì)應(yīng)滿(mǎn)足什么要求，是一個(gè)非常現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題.根據(jù)題意觀(guān)眾對(duì)座位的滿(mǎn)意程度主要取決于觀(guān)看時(shí)的視角和仰角.經(jīng)調(diào)查可知這兩者都要滿(mǎn)足一定的條件.但在實(shí)際生活中又不可能同時(shí)滿(mǎn)足，只能在二者兼顧的條件下求出使平均滿(mǎn)意度最大的那種情況.根據(jù)題意很容易得知和的正切值呈遞減趨勢(shì)，這對(duì)問(wèn)題的解決很有幫助.下文針對(duì)題目提出的三個(gè)問(wèn)題逐一進(jìn)行分析.針對(duì)問(wèn)題

3、1：為方便求解，可以以屏幕所在的墻壁的剖面為y軸，向上為正方向，以與之垂直的地面為x軸，以交點(diǎn)為原點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系.當(dāng)?shù)匕寰€(xiàn)傾角時(shí)，根據(jù)已知條件通過(guò)計(jì)算得知，最前排視角和仰角的值均為最大，最后排視角和仰角的值均為最小.那么仰角時(shí)的位置是否是最佳位置呢？我們可以先將離散的座位連續(xù)化，根據(jù)條件求出的表達(dá)式，作出對(duì)的變化圖象以及其變化率圖象，計(jì)算文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案的最大值，找到最佳座位點(diǎn)，然后再將問(wèn)題離散化，對(duì)求得的最佳座位點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化.針對(duì)問(wèn)題2：一般地，人們對(duì)某件事物看法的心理變化是一個(gè)模糊的概念.本文觀(guān)眾對(duì)座位是否滿(mǎn)意也是一個(gè)模糊概念.根據(jù)模糊

4、數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識(shí)，我們可以引入滿(mǎn)意度函數(shù)的概念，構(gòu)造一個(gè)滿(mǎn)意度函數(shù)，通過(guò)這一函數(shù)來(lái)度量觀(guān)眾滿(mǎn)意程度隨其座位離屏幕的距離的變化趨勢(shì).在傾斜角固定的情況下，滿(mǎn)意度函數(shù)值隨的變化而變化，不同的有不同的滿(mǎn)意度.有了滿(mǎn)意度函數(shù)這一衡量標(biāo)準(zhǔn)后，我們可以求出所有座位的平均滿(mǎn)意度.當(dāng)平均滿(mǎn)意度最大時(shí)，求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的傾斜角，即為所要求的平均滿(mǎn)意度最大時(shí)地板線(xiàn)的傾斜角度.三.模型的假設(shè)1.假設(shè)座位在地板線(xiàn)上嚴(yán)格等距，且均勻分布；2.假設(shè)觀(guān)眾的滿(mǎn)意度可以用一連續(xù)函數(shù)來(lái)衡量，因而可將離散問(wèn)題連續(xù)化；3.假設(shè)視角對(duì)觀(guān)眾的滿(mǎn)意度影響較大；四.符號(hào)說(shuō)明當(dāng)人坐下

5、時(shí)眼睛到屏幕上、下邊緣視線(xiàn)的夾角當(dāng)人坐下時(shí)眼睛到屏幕上邊緣視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角當(dāng)人坐下時(shí)眼睛所處在坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)關(guān)于距離和傾斜角的正切函數(shù)關(guān)于距離和傾斜角的正切函數(shù)滿(mǎn)意度函數(shù)第個(gè)位置的滿(mǎn)意程度平均滿(mǎn)意程度滿(mǎn)意度函數(shù)的相關(guān)因子（即滿(mǎn)意因子）五.模型的建立1.建模的準(zhǔn)備1.1建立坐標(biāo)系為了建立合適的數(shù)學(xué)模型，我們先建立如下坐標(biāo)系：文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由題意及坐標(biāo)圖得，直線(xiàn)L的方程：（1）直線(xiàn)L上任意一點(diǎn)的仰角β的正切值為：（2）又由圖可知：（3）由（2）（3）得：1.2構(gòu)造滿(mǎn)意度函數(shù)一般說(shuō)來(lái)，人們的心理變化是一個(gè)模糊的概念.本文中觀(guān)眾對(duì)某個(gè)座位是否滿(mǎn)

6、意的看法就是一個(gè)典型的模糊概念.由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)人們通常對(duì)一件事物評(píng)價(jià)的心理變化應(yīng)遵循一定規(guī)律，不妨定義觀(guān)眾對(duì)座位的滿(mǎn)意度為：（4）其中表示觀(guān)眾滿(mǎn)意度的相關(guān)因子，稱(chēng)為滿(mǎn)意因子，一般為常數(shù).表示最佳座位點(diǎn)，即最佳座位處的橫坐標(biāo)值.2.模型的建立2.1問(wèn)題1的模型座位的滿(mǎn)意程度主要取決于視角α和仰角β.α越大越好，β太大使人的頭部過(guò)分上仰，引起不舒適感，一般要求β不超過(guò).要確定最佳座位，必須同時(shí)兼顧視角α和仰角β.由上文不難發(fā)現(xiàn)和均是的函數(shù)，這里不妨令，，則可得到：文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（5）（6）由，即得：又由題意知：則x

7、的取值范圍為：（7）從而得到求解最佳座位的數(shù)學(xué)模型：（8）當(dāng)θ=10度時(shí)求得模型的解觀(guān)眾的滿(mǎn)意度隨位置變化曲線(xiàn)如圖：文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2.2問(wèn)題2的模型為了求平均滿(mǎn)意程度最大時(shí)地板的傾角，本文先設(shè)法求平均滿(mǎn)意程度.由（4），記第個(gè)座位滿(mǎn)意度為：（9）則區(qū)間上個(gè)座位的滿(mǎn)意度為：（10）從而得座位的平均滿(mǎn)意程度為：（11）從而得到求解地板傾角的數(shù)學(xué)模型：（12）其中的表達(dá)式為：，為常數(shù)，表示前后兩個(gè)座位之間的距離.，的表達(dá)式為：.觀(guān)眾滿(mǎn)意度隨地板線(xiàn)曲率變化如圖：文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案有圖解得：2.3問(wèn)題3的模型為了進(jìn)一步提高觀(guān)眾的滿(mǎn)意程度，應(yīng)當(dāng)使總滿(mǎn)意

8、程度進(jìn)一步增大。因此，利用最優(yōu)化模型，使得每一名觀(guān)眾的滿(mǎn)意程度達(dá)到最大。目標(biāo)函數(shù)為：Max約束條件為：從而得到結(jié)果為：文檔