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1、階梯教室座位設(shè)計(jì)問題數(shù)科三班馬萍201211131910摘要關(guān)鍵字階梯教室座位設(shè)計(jì)最佳位置平均滿意程度問題的重述下圖為階梯教室的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角a和仰角P。視角a是學(xué)生眼睛到黑板上、下邊緣視線的夾角，a越大越好；仰角P是學(xué)生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角，P太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求e不超過300。設(shè)階梯教室黑板高h(yuǎn),上邊緣距地面高H，地板線傾角0，第一排和最后一排座位與黑板水平距離分別為d和D,學(xué)生平均坐高為c（指眼睛到地詘的距離）。已知參數(shù)h=1.8,H=5,d=4.5,
2、D=19,c=l.l（單位：m）。（如圖所示）（1）地板線傾角0=10o,問最佳座位在什么地方。（2）求地板線傾角0（—般不超過200），使所有學(xué)生的平均滿意程度最大。（3）地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高學(xué)生的滿意程度模型的假設(shè)1、假設(shè)學(xué)生可以按照比例近似為一段線段2、假設(shè)設(shè)計(jì)過程中沒有學(xué)生數(shù)額要求3、假設(shè)階梯教室的地面是水平的;符號(hào)的說明H一一黑板上邊緣到地而的距離。D--…-最后一排到黑板的水平距離h------黑板的高度c-……學(xué)生平均座高d----…第一排到黑板的水平距離a_…學(xué)生眼睛與黑板上下邊緣的夾角3-…
3、學(xué)生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角0-----地板線傾角m——學(xué)生腳底到水平線的垂直距離M------任意一位學(xué)生的座位位置A-------黑板上邊緣的位置點(diǎn)B-…黑板下邊緣的位置點(diǎn)0…學(xué)生座位到黑板的水平線與黑板所在豎直線的交點(diǎn)X---…學(xué)生座位到黑板的水平距離問題的分析問題一：題中給出了地板線與水平妞的具體夾角，要求求出最佳座位。根據(jù)題中己知條件，算出首排學(xué)生的仰角位為38.62度，可知在0給定的情況下，學(xué)生的最佳座位應(yīng)該在P=30度的位置上。為此要找到a與某一變量的函數(shù)關(guān)系式，求此關(guān)系式函數(shù)所對應(yīng)的圖像，如圖一，
4、進(jìn)一步說明了這一點(diǎn)。具體找關(guān)系式是在題中所給的圖中可以看出a在一個(gè)三角形中。因此我們用余弦定理找出角度CI與每個(gè)邊的關(guān)系。題冃要求最佳座位，我們設(shè)學(xué)生與黑板之間.的水平距離X，運(yùn)用簡單的幾何關(guān)系，我們得出了a與X的函數(shù)關(guān)系式。最終得出CI的最大值，即找出最佳座位。問題二：在問題二中，要求解出一個(gè)e值，使得所有的學(xué)生的平均滿意程度最大。在第一題的結(jié)果中，我們知道，隨著x的增大，的值單調(diào)遞增，且a為一銳角，則a的值逐漸減小。同樣由第一問可知3的值在整個(gè)過程中是逐漸減小的，在計(jì)算的過程中，隨著的變化，最佳位置總在某一點(diǎn)附近擺動(dòng)，
5、在P=30度時(shí)，取定此位置，在此位置右側(cè)P<=30度，最佳位置只受a的影響，左側(cè)同時(shí)受a和3的影響，但隨著值從0度到20度變化，a逐漸變大，P逐漸減小，并考慮到此點(diǎn)距首位置較近，因此可以忽略3的影響，從全局考慮a的影響即可。又由于首座位的a值固定，故末位置a值取得最大值即可求得此時(shí)0角的大小，列出末位置cosa—0的函數(shù)關(guān)系，用EXCEL處理，由函數(shù)圖像求得所求G值。問題的求解：在0=30度時(shí)，由公式：TAN30°={5-[(X-4.5)*TAN0+1.1]}/X求得:0=5O時(shí)，x=6.432；0=10°時(shí),x=6
6、.225；0=15°時(shí)，x=6.020；模型的建立與求解由圖二的幾何關(guān)系得出m=(x—4.5)tanlO°，OA=3.9-m，0B=
7、m-2.1
8、0△ABM屮AM二[x2+(3.9-m)2]?BM=[X2+(2.1-m)2]?,故用余弦定理得cosa=[2x2+(3.9-m)2+(2.1-m)2—1.8]/2[x2+(3.9-m)2]?[x2+(2.1-m)2]?運(yùn)用Excel軟件得出cosa與x的關(guān)系做出了cosa與x圖像，即圖一。根裾圖像得出a是根裾x的增大而減小的，由此知道ex的最大值在P=30o處取得。根據(jù)值求的最
9、佳座位x的值即為6.225m。問題二：由上圖圖二可得：OA=3.9-14.5*TAN0;OB=14.5*TAN0-2.1;AM=SQRT(19A2+(3.9-14.5*TAN0)A2);BM=SQRT(19A2+(14.5*TAN9-2.1)A2);AB=1.8;綜上可求的得：COSa=[2*192+(3.9-14.5*TAN9)2+(14.5*TAN0-2.1)2-1.82]/[2*SQRT(192+(3.9-14.5*TAN0)2)*SQRT(192+(14.5*TAN0-2.1)2)];由EXCEL軟件，得出圖三，如
10、下由圖經(jīng)過計(jì)算，可得e最佳大小約為12.1度。問題三：問題三要求設(shè)計(jì)地板線的形狀，進(jìn)一步提高學(xué)生的滿意程度，可在問題二的基礎(chǔ)上進(jìn)一步設(shè)計(jì)地板線形狀，進(jìn)而提高學(xué)生的滿意程度。由問題二可知，同一e角時(shí)，在X=6.123附近的學(xué)生滿意程度最佳，在其左側(cè)的學(xué)生渴望更高一些，而右側(cè)的學(xué)生則渴望離黑板更近一些，在附
