階梯教室座位設計問題

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1、數(shù)科三班馬萍0階梯教室座位設計問題摘要本文研究的是階梯教室座位設計問題，座位的滿意程度主要取決于視角α和仰角β。視角α是學生眼睛到黑板上、下邊緣的夾角，α越大越好；仰角β是學生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角，β太大使人的頭部過分上仰，引不舒適感，一般要求不超過30度。而對于本題中的問題一、問題二和問題三則需要實際情況，分側(cè)重點考慮視角α和仰角β的影響。對問題一，在地板線傾角給定的情況下建立仰角α與某個學生到階梯教室黑板水平距離的函數(shù)，在β<=30度的情況下，求的最佳座位。對于問題二，在β=30度時，通過求解多組θ值所對應的最佳座位位置，發(fā)現(xiàn)最佳座位位置在一個固定位置附

2、近擺動，并且此固定位置距離首排座位較近，在此距離中的學生滿意程度隨θ的增大而逐漸增大，所以所有學生的平均滿意程度主要取決于視角α的值。僅對視角α進行討論，得出結(jié)果。問題三在問題二的基礎上做進一步的改進，通過分析得知在問題二中的固定位置之前的學生迫切要求其座位再高一些，所以可以讓他們的座位從前往后豎直方向變化的速度大于水平方向的速度；而固定位置之后的學生要求座位靠前一些，所以可以讓他們的座位水平方向的變化速度大于豎直方向的速度。而固定位置附近的坡度變化緩慢，綜合得出進一步提高學生滿意程度的方案關(guān)鍵字階梯教室座位設計最佳位置平均滿意程度問題的重述下圖為階梯教室的剖面示意圖，座

3、位的滿意程度主要取決于視角α和仰角β。視角α是學生眼睛到黑板上、下邊緣視線的夾角，α越大越好；仰角β是學生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角，β太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求β不超過30o。設階梯教室黑板高h,上邊緣距地面高H，地板線傾角θ，第一排和最后一排座位與黑板水平距離分別為d和D,學生平均坐高為c（指眼睛到地面的距離）。已知參數(shù)h=1.8，H=5，d=4.5，D=19，c=1.1（單位：m）。(如圖所示)(1)地板線傾角θ＝10o，問最佳座位在什么地方。(2)求地板線傾角θ（一般不超過20o），使所有學生的平均滿意程度最大。(3)地板線設計成什么形

4、狀可以進一步提高學生的滿意程度模型的假設1、假設學生可以按照比例近似為一段線段2、假設設計過程中沒有學生數(shù)額要求3、假設階梯教室的地面是水平的；符號的說明H——黑板上邊緣到地面的距離。D------最后一排到黑板的水平距離h------黑板的高度c-------學生平均座高d-------第一排到黑板的水平距離α------學生眼睛與黑板上下邊緣的夾角β------學生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角θ-----地板線傾角m-------學生腳底到水平線的垂直距離M-------任意一位學生的座位位置A-------黑板上邊緣的位置點B-------黑板下邊緣的位置點O

5、-------學生座位到黑板的水平線與黑板所在豎直線的交點χ------學生座位到黑板的水平距離問題的分析問題一：題中給出了地板線與水平面的具體夾角，要求求出最佳座位。根據(jù)題中已知條件，算出首排學生的仰角位為38.62度，可知在θ給定的情況下，學生的最佳座位應該在β=30度的位置上。為此要找到α與某一變量的函數(shù)關(guān)系式，求此關(guān)系式函數(shù)所對應的圖像，如圖一，進一步說明了這一點。具體找關(guān)系式是在題中所給的圖中可以看出α在一個三角形中。因此我們用余弦定理找出角度α與每個邊的關(guān)系。題目要求最佳座位，我們設學生與黑板之間.的水平距離χ，運用簡單的幾何關(guān)系，我們得出了α與χ的函數(shù)關(guān)系式

6、。最終得出α的最大值，即找出最佳座位。圖一問題二：在問題二中，要求解出一個θ值，使得所有的學生的平均滿意程度最大。在第一題的結(jié)果中，我們知道，隨著χ的增大，的值單調(diào)遞增，且α為一銳角，則α的值逐漸減小。同樣由第一問可知β的值在整個過程中是逐漸減小的，在計算的過程中，隨著q的變化，最佳位置總在某一點附近擺動，在β=30度時，取定此位置，在此位置右側(cè)β<=30度，最佳位置只受α的影響，左側(cè)同時受α和β的影響，但隨著q值從0度到20度變化，α逐漸變大，β逐漸減小，并考慮到此點距首位置較近，因此可以忽略β的影響，從全局考慮α的影響即可。又由于首座位的α值固定，故末位置α值取得最大

7、值即可求得此時θ角的大小，列出末位置cosα—θ的函數(shù)關(guān)系，用EXCEL處理，由函數(shù)圖像求得所求θ值。問題的求解:在β=30度時，由公式：TAN30°={5-[(X-4.5)*TANθ+1.1]}/X求得:θ=5°時，χ=6.432；θ=10°時，χ=6.225；θ=15°時，χ=6.020；θ=20°時，χ=5.820；取其平均值得X=6.123；模型的建立與求解問題一：在階梯教室座位設計問題上，根據(jù)題中給出的簡易的平面幾何圖（如下圖圖二），加之在問題一的分析的基礎上，我們將此問題歸結(jié)為在幾何圖中求α最大值的問題。而最大值對