利用特殊值法解競(jìng)賽題

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1、2中等數(shù)學(xué)利用特殊值法解競(jìng)賽題王萬(wàn)豐(浙江省臺(tái)州市路橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)，3t8050)中圖分類號(hào)：0142文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1005—6416(2011)12—0O02—03(本講適合初中)=0可轉(zhuǎn)化成()．在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些利用“不(A)x(y2+Y一2)=0定條件”的求值問(wèn)題，此類問(wèn)題直接求值往(B)x(y2+)，一3)=0往難度較高．但試題若以選擇題或填空題的(C)x(y2+y一4)=0形式出現(xiàn)，則可以利用對(duì)符合不定條件的字(D)x(y2+)，一6)=0母進(jìn)行特殊化求解，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的分析本題若直接求解，有一定難度．效

2、果．利用特殊值法不但可以計(jì)算代數(shù)式的先通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：值，還可以拓展到用點(diǎn)或圖形的特殊化來(lái)求當(dāng)=1時(shí)，+一缸++1=0，此時(shí)，某些幾何問(wèn)題的定值．1y=+=2．1字母特殊化再觀察選擇項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)(D)的值例1已知abc#0，且口+b+c=0．則代為0．【點(diǎn)評(píng)】例1、2都是通過(guò)運(yùn)用特殊值法數(shù)式++的值為()．DC口CaO把抽象的字母轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，大大降低(A)3(B)2(C)1(D)0了解題難度．解法1原式2點(diǎn)特殊化：二+二±+二(旦±魚(yú)旦6c。?？?例3如圖1，在=一(詈+詈)一(+)一(詈+詈)△ABC中，AB=AC=4，P是邊

3、BC上異于=3．點(diǎn)曰、C的一點(diǎn)，則解法2由口+b+c=O，可取AP2+·PC的值為口=b=1．c：一2．直接代人得()．BPDC原式=一一蠆1+4=3(A)16(B)20圖1．(C)25(D)30故選A．解法1如圖1，作AD上BC．因?yàn)锳B=AC，所以，BD=DC．例2若y=+，貝0+一4x++1故AP+BP·PC收稿日期：2011—09—01。．=AD+PD+(BD—PD)(DC+PD)2011年第l2期3：AD+PD+BD一PD例5如圖4，C：AB=16．若P是等邊△ABC解法2令點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)D，此時(shí)，內(nèi)任意一點(diǎn)，且過(guò)BP=PC

4、：BD．AP=AD．P作邊AB、BC、CA的垂線，垂足依次Ap+BP·PC=AD+8D為D、E、，，則：Aft=16．AD+BE+CF故選A．一=PD+PE+PF網(wǎng)4例4如圖2，設(shè)是△ABC的重心，過(guò)()．的直線分別(A)2(B)(C)2(D)2與邊AB、AC交解法1如圖4，設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)于P、Q兩點(diǎn)，且為口，過(guò)點(diǎn)P作A。B／／AB，BC2／／8c，c，A2／／APAO—cA，分別與邊BC、、AB交于點(diǎn)B和C。、A，PB，‘和C：、A：和日．易知，則+：，AlC2+A2P+PC1：AlC2+A，蕾1+Clc2=口．PD+PE+PF

5、罔2=：P+c+(201l，“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(初三))口，解法1如圖2，分別過(guò)點(diǎn)C、B作PQ的平行線交AD或AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、則AD+BE+CF=一絲一—AP—AM’AA2+B曰l+CC1+÷(A2P+曰1P+PC2)m3一一_0‘n—AQ—AM‘所以，萬(wàn)AD+麗BE+CF=因D為邊BC的中點(diǎn)，且F∥CE，所以，．DE=D解法2令點(diǎn)P為等邊△ABC的中心，于是，F(xiàn)M+EM=2DM．設(shè)AB=2．則又M為△ABC的重心，則AM=2DM．AD=BE=CF=√一3，故+1=—FM+EM=：·．PD=PE=PF=1．解法2如圖3，特殊化

6、點(diǎn)P，PQ／／BC．故選B．則【點(diǎn)評(píng)】在解決與點(diǎn)有關(guān)的求值問(wèn)題時(shí)，AP可以根據(jù)題目中的條件，選取某個(gè)符合條件．．—．AQPBQC的特殊位置作出特殊圖形進(jìn)行計(jì)算．A‘‘MD‘。3圖形特殊化于是，B例6如圖5，在△ABC中，B=C，1+一：1．網(wǎng)3點(diǎn)D在邊BC上，BAD=50。．在AC上取點(diǎn)4中等數(shù)學(xué)E，使得ADE=AED．則EDC的度S數(shù)為()．(A)15。(B)25。'(C)30。

7、六屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)所以。EDC=BAD÷2=25。．解法1如圖7，設(shè)邊AB、BC、CD、DA的解法2令DAC=50。．則中點(diǎn)分別為E、F、G、H，聯(lián)結(jié)、FG、GH、HE、ADE=65。．ADC=90。．MP、MQ、MR、MS與對(duì)角線AC、BD．于是。EDC=25。由E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，知例7如圖6，在矩形ABCD中，已知對(duì)角1s酬gEFGH=Is~gaJB4nco=線長(zhǎng)為2，且,，1=2=4sEF：SAMOR．3=4．同理，4S=S△，則四邊形，4S△SAMSP，EFGH的周長(zhǎng)I4sHF：sPQ．是()．從而，

8、S~t,qe,s=4S四邊形E腳=2．(A)2(B)4(C)4(D)6解法2令凸四邊形ABCD為正方形，(2010，四川省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)為正方形的中心，可得四邊形PQRS為正方解法l根據(jù)反射關(guān)系，如圖6,R