利用轉(zhuǎn)化思想解競賽題

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1、2011年第5期l3利甩轉(zhuǎn)化思想解競賽題宋強(qiáng)中圖分類號：O142文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1005—6416(2011)05—0013—06對于某些競賽題，用常規(guī)的思考方法去故(，n+1)+(m+1)-2(k+1)~0(mod4)．解答往往事倍功半，若通過一些轉(zhuǎn)化思想(2)斜率為(如映射、染色、圖論、概念轉(zhuǎn)換等)，就可以簡捷地解決問題．本文通過文獻(xiàn)[1]中的幾號((p’q)=1’1≤p≤≤g≤m)的直線，其每一條與中的單位正方形道賽題加以闡述．，的頂點(diǎn)一一對1映射法應(yīng)(如圖1，點(diǎn)(，Y)與(+q，m例1設(shè)n為正整數(shù)．有一個(gè)矩形ABCDY+p)在同一條的邊長為AB：90n+1，B

2、C=90n+5．用水平與豎直的線將矩形分成(90n+1)×(90n+5)斜率為衛(wèi)的直g個(gè)單位正方形，．s是由所有單位正方形的頂線上)，且圖1點(diǎn)構(gòu)成的集合．證明：通過s中至少兩個(gè)點(diǎn)的直線的條數(shù)可以被4整除．(2008，巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克){fP(m『+1)+g(m+1)。珈，p≤詈，g≤詈；證明首先證明一個(gè)引理．I(ra+1一JP)(m+l-q)～，>詈戢g>孚下if／,．引理已知正奇數(shù)m、m(m

3、=對稱的直線斜率所有至少通過Js中兩個(gè)點(diǎn)的直線的集合．則為衛(wèi)ITI§O(rood4)錚lVIE1(mod2)，，易知，該直線也在T中．故與(2)中直其中，V={(P，q)IP、q為奇數(shù)，1≤p≤m

4、，V={(P，q)Ip、q為奇數(shù)，1≤p≤m，1≤m；m-k(mod4)(k∈{1，3})，q≤m，(P，q)=1}．收稿日期：2010—10—14顯然，(1，1)∈，且當(dāng)g≤m時(shí)，有l(wèi)4中等數(shù)學(xué)(P，q)EV骨(q，P)EV．顯然，操作b。=l兩次等價(jià)于b=0，即故lVl=0(mod2)兮fVI一1(mod2)．不操作．回到原題．故操作b=I(i=1，2，?，n)至多一次．取m=90n+1，m=90n+5．下面的運(yùn)算規(guī)則為：1+1=0，0—1=1，當(dāng)q=90n+3時(shí)，由即在模2的意義下運(yùn)算．(q-p，g)=(P，q)，由題設(shè)知k一1知1，2，?，q中與g互質(zhì)的數(shù)的一半為奇數(shù)

5、．n=∑6(1，2，?，n)，1故P有÷厶(90凡+3)種取值．其中，下標(biāo)是在模n的意義下．1從而，每一組操作(b，b，?，b)對應(yīng)一當(dāng)q：90n+5時(shí)，P有÷(90n4-5)一1厶個(gè)滿足條件的狀態(tài)(a，a，?，a)，記為種取值(同上，且去掉P=90n+3的取值)．b1，b2，?，b)=(a1，a2，?，a)．1對一組操作(6。，b，?，6)，下面計(jì)算有故ll：÷((9on+3)+(90幾+5))一1厶多少組與(b。，b：，?，b)不同的(b：，b，?，1=1((3)(3On+1)+(5)妒(18n+1))一1b：)滿足厶b，b，?，b)=b：，b，?，6：)．①i1(mod

6、2)．易知，式①等價(jià)于所以，ITI-0(rood4)．t一1—l例2設(shè)it／,、k(n≥k≥1)為正整數(shù)．有n∑b=∑6-i(1，2，?，n)．②盞燈放在圓周上，且都是關(guān)著的．每一次，你由式②又有可以改變?nèi)我庀噜彽膋盞燈的開或關(guān)的狀k∑b=∑6③態(tài)，在下列三種情形下：(1)k是奇質(zhì)數(shù)，②一③得6i—b=b：一6：即(2)k是奇數(shù)，b：一bi=6：一—b．(3)k是偶數(shù)，設(shè)C=b：一b．則對于2種可能的狀態(tài)中有多少種狀態(tài)可以c=cⅢ=cm(i=1，2，?，n；t=1，2，?)．④通過若干次操作得到?設(shè)n，k)=d，n=nod，k=kod，(nO，k0)：1．(2009，意大利國

7、家隊(duì)選拔考試)考慮{nO$+1ls=1，2，?，0}，其模k0兩解將圓周上的n盞燈依次編號為1，兩不同余．2，?，n．于是，存在E{1，2，?，k。t，使得在可以通過若干次操作得到的一種狀后0l(no$+1)，即kot=nos+1，貝U態(tài)中，將第i(=1，2，?，n)盞燈賦一個(gè)值kt=珊+d．a(chǎn)E{0，1}，其中，0表示燈是關(guān)著的，1表示將上式代人式④得燈是開著的．Ci=ci+h：c++dci+d(i=1，2，?，n)．將每次操作賦—個(gè)值bi(iE{1，2，?，n})：故每一組(b，b，?，b：)與(C