二重積分的分部積分法

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1、2009年11月綿陽師范學院學報Nov.20o928卷第11JotLmalofMiarIyangNormalUniV01.28No.11二重積分的分部積分法孫幸榮(黃岡師范學院數(shù)學與信息科學學院,湖北黃岡438000)摘要:重積分是高等數(shù)學的主要內(nèi)容,也是難點內(nèi)容,其物理意義豐富,應(yīng)用非常廣泛。文章通過對重積分的計算的分析,應(yīng)用定積分的分部積分法,含參變量積分的可微性及含參變量累次積分的可微性,推導出二重積分分部積分法的相關(guān)結(jié)論。關(guān)鍵詞:分部積分法;二重積分;含參變量積分;可微性中圖分類號:O172文獻標識碼:A文章編號:1672-612x(2009)11-0025-03

2、0引言重積分是由一元函數(shù)積分推廣而來的,但與一元函數(shù)積分相比,計算重積分的難易除了與被積函數(shù)有關(guān)外,還與積分區(qū)域的特點有關(guān),計算重積分的主要方法是化重積分為累次積分,本文主要是應(yīng)用定積分的分部積分法,含參變量積分的可微性及含參變量累次積分的可微性,得出二重積分分部積分法的一些結(jié)論。1預(yù)備知識為了給出重積分的分部積分法,先引入定積分的分部積分法,含參變量積分的連續(xù)性、可微性及含參變量累次積分的連續(xù)性、可微性。引理l?(分部積分法)若()與()具有連續(xù)的導數(shù),且不積分()()存在,則()()也存在,并有()()=()()l一r()(),并稱此式為分部積分法公式,簡記作=刪一d

3、。引理2若函數(shù),)與其偏導數(shù)都在矩形區(qū)域D=[口,6]×[c,]上連續(xù),則含參變量積分,,,)在區(qū)間[,6]上可微,且乏,,,)=f,y)引理3若函數(shù),),)在一型區(qū)域D={(,),)I),()≤Y≤(),a≤≤bj上連續(xù),y(),y()為定義在[口,6]上其值域含于[c,d]上的可微函數(shù)。則函數(shù),),)連續(xù),且,y)dxdy廣6rr2(x)=JdxI,Y).cJYl()NIN4設(shè)函數(shù)廠(,),)與其偏導數(shù)都在區(qū)域D=[,6][c,d]上連續(xù),),(),y2()為定義在[口,6]上其值域含于[c,d]上的兩個可微函數(shù),則函數(shù)F(,,,)=三廠(,y)在[,6]上可微,且收

4、稿日期:2009-07-25基金項目:湖北省教育廳重點科研基金項目(D2Oo627oo5)作者簡介:孫幸榮(1978一),女,講師,碩士,主要研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學。·26·綿陽師范學院學報(自然科學版)第28卷,斃tF()Jyl(x,y)dy+:())),:()一,())),,()·2二重積分的分部積分法定理1設(shè),(茗,y)是在D={口≤≤b,yt()≤Y≤Y:()t上的連續(xù)可微函數(shù),Y。()、Y2()為定義[口,b]上的可微函數(shù)。如果在區(qū)域D上有連續(xù)可微函數(shù)F(x,Y)滿足F(,,,)+石宣;,),)()則,y)=三F(茁,),)I:一r[F(,y())y:()一F(x,

5、yl()),,()].證明因為(,y)在區(qū)域D上連續(xù)可微,Y。(),,,:(菇),為定義在[口,b]上的可微函數(shù),由引理3得(,y)dy=rF(,,,)[61,由引理l、引理2、引理4得:),)=一r茗('y)y2(s)=F(,,,)I:一r(:+F(,,,:())y:()一F(())),()如=:F(,,,)I:一r如一r[F(,,,()),,:(石)一F(()),,()]而r=撕因此),)+:J廠21:F(,,,)咖I:一f6茗[F(,,,:(石))Y'2()一F(茗,y。())),,。()]如71(z)./a‘即,,,)=:F(茗,),)dyl'一r[F(.,,:(

6、))),:()一F(()),,()]p】.對于二重積分,,,)如可化成先后,,次序的累次積分,也有類似的結(jié)論,這里不再贅述了。D回過頭來再看()式,ePF(戈,),)+=菇,y),又[F(石,y)=,,,),則可令F(,,,.)=J£,,,)+(),即得F(,y)=÷Jt,y)dt+咖(y),這就是F(,,,)所應(yīng)該具備的最一般形式?。推論l設(shè),),),與其偏導數(shù)于區(qū)域D=I(x,y)I,,。()≤,,≤),:(),口≤≤6}上連續(xù),,,。(石),y:(戈)為定義在[口,6]上的可微函數(shù),且F(,),)=,y)(≠0,且為常數(shù)),則茗,’,)=(:,y)I:一r[茹,),

7、:())y:()一())),。()]如).‘證明由定理l知F(,,,)+叢=,),),令茹,),)=,,,)+,)=(,),)),=),則有.,,,)d~dy=芝l:一r,y(:()一()()]此推論給出了一類函數(shù)的重積分計算公式,同樣的,對于可化為另一種次序的累次積分,也可得類似的計笪公吉第11期孫幸榮:二重積分的分部積分法·27·推論2設(shè)廠(,),)與其偏導數(shù)都在D={(,),)IYt()≤Y≤Y(),口≤≤bi上連續(xù),Y(),Y,()為定義在[口,b]上的可微函數(shù),且(x,y)=,),)(≠一1,且為常數(shù)),則,),)e

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