定積分的換元積分法與分部積分法

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1、定積分的換元積分法與分部積分法教學(xué)目的：掌握定積分換元積分法與分部積分法難　　點(diǎn)：定積分換元條件的掌握重　　點(diǎn)：換元積分法與分部積分法由牛頓－萊布尼茨公式可知，定積分的計(jì)算歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)．在上一章中，我們已知道許多函數(shù)的原函數(shù)需要用換元法或分部積分法求得，因此，換元積分法與分部積分法對(duì)于定積分的計(jì)算也是非常重要的．1．定積分換元法定理假設(shè)(1)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號(hào)的導(dǎo)數(shù)；(3)當(dāng)在變化時(shí)，的值在上變化，且，則有　．　　　　　　　　　　　(1)本定理證明從略．在應(yīng)用時(shí)必須注意變換應(yīng)滿足定理的條件，在改變積分變量的同時(shí)相應(yīng)改變積分限，然后對(duì)新變量積分．例1計(jì)

2、算．解令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．于是．例2計(jì)算．a(chǎn)aOxy解令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故圖5－8．顯然，這個(gè)定積分的值就是圓在第一象限那部分的面積(圖5－8)．例3計(jì)算．解法一令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，于是．解法二也可以不明顯地寫出新變量，這樣定積分的上、下限也不要改變．即．此例看出：定積分換元公式主要適用于第二類換元法，利用湊微分法換元不需要變換上、下限．例4計(jì)算．解注去絕對(duì)值時(shí)注意符號(hào)．===．例5計(jì)算．解設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．=．例6設(shè)在上連續(xù)，證明：(1)若為奇函數(shù)，則；(2)若為偶函數(shù)，則．證由于,對(duì)上式右端第一個(gè)積分作變換，有．故．(1)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，故．(2)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，故．利用

3、例6的結(jié)論能很方便地求出一些定積分的值．例如．．2．定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分法則，可得．等式兩邊同時(shí)在區(qū)間上積分，有．(2)公式(2)稱為定積分的分部積分公式，其中與是自變量的下限與上限．例7計(jì)算．解令，則．故．例8計(jì)算．解．例9計(jì)算．解====．例10計(jì)算．解．即注移項(xiàng)得．故．例11計(jì)算．解先用換元法，令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．于是．再用分部積分法，得．小結(jié)：1．定積分換元積分定理：假設(shè)(1)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號(hào)的導(dǎo)數(shù)；(3)當(dāng)在變化時(shí)，的值在上變化，且．則有．2．定積分分部積分法：設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有．