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《高等數(shù)學(xué)平面及其方程》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第五節(jié)平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角第七章平面和直線是最簡(jiǎn)單和最基本的空間圖形。本節(jié)和下節(jié)我們將以向量作為工具討論平面和直線的問(wèn)題。介紹平面和直線的各種方程及線面關(guān)系、線線關(guān)系。確定一個(gè)平面可以有多種不同的方式，但在解析幾何中最基本的條件是：平面過(guò)一定點(diǎn)且與定向量垂直。這主要是為了便于建立平面方程，同時(shí)我們將會(huì)看到許多其它條件都可轉(zhuǎn)化為此。這里先介紹平面的點(diǎn)法式方程：如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．已知設(shè)平面
2、上的任一點(diǎn)為必有一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程其中法向量已知點(diǎn)若取平面的另一法向量此時(shí)由于平面方程為平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形．解取所求平面方程為化簡(jiǎn)得一般地過(guò)不共線的三點(diǎn)的平面的法向量平面方程為——三點(diǎn)式方程特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開(kāi)得即取法向量化簡(jiǎn)得所求平面方程為解由平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過(guò)坐
3、標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò)軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.設(shè)平面為由平面過(guò)原點(diǎn)知所求平面方程為解設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解則平面與三軸分別交于、、（其中，，）將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解化簡(jiǎn)得令代入體積式所求平面方程為例6求過(guò)點(diǎn)且平行于z軸的平面方程.解一用點(diǎn)法式設(shè)所求平面的法向量為則由點(diǎn)法式得，所求平面的方程為即解二用一般式因平面平行于z軸，故可設(shè)平面方程為在平面上解得所求平面方程為即由以上幾例可見(jiàn)，求平面方程的基本
4、思路和基本步驟：兩定——定點(diǎn)，定向定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式,可以得出：兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//例7研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：解兩平面相交，夾角兩平面平行兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.例8一平面過(guò)點(diǎn)且垂直于平面求其方程。解設(shè)所求平面的法向量為在所求平面上又所求平面與已知平面垂直解得代入點(diǎn)法式方程并整理得解四、點(diǎn)到平面距離公式例10.解:設(shè)球心為求內(nèi)切于平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成四面體的球面方程.則它
5、位于第一卦限,且因此所求球面方程為從而平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程.一般方程.截距式方程.（注意兩平面的位置特征）四、小結(jié)作業(yè)P3302,6,7,9
