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《高等數(shù)學方明亮6.5平面及其方程》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第五節(jié)平面及其方程第六章（ThePlanesandItsEquations)四、小結(jié)與思考練習一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角9/2/20211①一、平面的點法式方程設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面?的點法式方程,求該平面?的方程.法向量.量則有故(ThePoint-NormalFormEquationsofaPlane)9/2/20212即解:取該平面?的法向量為的平面?的方程.(自學課本例2）利用點法式得平面?的方程例1求過三點9/2/20213此平面的三點式方程也可寫成一般情況:過三點的平面方程為說明:9
2、/2/20214此式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即特別,當平面與三坐標軸的交點分別為9/2/20215二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.(GeneralEquationofaPlane)9/2/20216特殊情形?當D=0時,Ax+By+Cz=0表示通過原點的平面;?當A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?Ax+Cz+D=0表示?Ax+By+D
3、=0表示?Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?By+D=0表示平行于y軸的平面;平行于z軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.9/2/20217解:因平面通過x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程例2求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.(自學課本例3）例3用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.(自學課本例4）9/2/20218三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為平面∏2的法向量為則兩平面夾角?的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.（TheAnglebetween
4、TwoPlanes）9/2/20219特別有下列結(jié)論：9/2/202110因此有垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.（課本例6）解:設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且例4一平面通過兩點9/2/202111外一點,求解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.（課本例7）,則P0到平面的距離為(點到平面的距離公式)例5設(shè)9/2/202112求內(nèi)切于平面x+y+z=1與三個坐標面所構(gòu)成四面體的球面方程.（補充題）例6解:設(shè)球心為則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為從而9/2/202113內(nèi)容小結(jié)1.平面
5、基本方程:一般式點法式截距式三點式9/2/2021142.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:9/2/202115課外練習習題6－51；2；7；8；9（1）（3）；10；11思考與練習答案：9/2/202116答案：9/2/202117解:已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡得3.求過點且垂直于二平面和的平面方程.（課本習題6-55）9/2/202118
