資源描述：
《空間中的角與距離》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、空間中的角與距離立體幾何專題復(fù)習(xí)之二空間中的角αabαbαβmb’aABP00<θ≤90000≤θ≤90000≤θ≤1800三種角的定義兩異面直線所成角直線與平面所成角二面角空間角的計算步驟：一作、二證、三算空間中的角解法小結(jié)1、異面直線所成角的方法（1）平移法（2）補形法2、直線與平面所成角的方法關(guān)鍵：抓垂足、斜足，找斜線在平面內(nèi)的射影。當(dāng)二面角的棱已知時：（1）定義法(2)垂面法（3）三垂線定理法尋找平行平面，將問題轉(zhuǎn)化3、二面角找二面角的棱,進而找棱的兩條垂線當(dāng)二面角的棱未知時：利用射影面積公式S′=
2、Scosθ［例］在棱長為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點.(1)求證：四邊形B′EDF是菱形；(2)求直線A′C與DE所成的角；(3)求直線AD與平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF與面ABCD所成的角.(1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下證B′、E、D、F四點共面，取AD中點G，連結(jié)A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四邊形.∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF為平行四邊形∴A′G∥FD，∴B′、
3、E、D、F四點共面故四邊形B′EDF是菱形.(1)求證：四邊形B′EDF是菱形(2)求直線A′C與DE所成的角(2)解：如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP(或補角)為異面直線A′C與DE所成角.在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C與DE所成角為arccos(3)求直線AD與平面B′EDF所成的角(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上.如圖所示.又∵B′EDF為菱形，∴
4、DB′為∠EDF的平分線，故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a則cosADB′=故AD與平面B′EDF所成的角是arccos.(4)求面B′EDF與面ABCD所成的角再作HM⊥DE，垂足為M，連結(jié)OM，則OM⊥DE，故∠OMH為二面角B′—DE′—A的平面角.在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜邊DE=a,則由面積關(guān)系得OM=a在Rt△OHM中，sin∠OMH=故面B′EDF與面ABCD所成的角為arcsin作OH⊥平面ABCD，則H為正方形
5、ABCD的中心，1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是()A.B.C.D.ABDCA1B1D1C1OMPABDCA1B1D1C1OME2.已知∠AOB=90°,過O點引∠AOB所在平面的斜線OC，與OA、OB分別成45°、60°，則以O(shè)C為棱的二面角A—OC—B的大小為_________.CABOarccos-3、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=
6、BC=1，AD=1/2，則面SBA與面SCD所成的二面角的大小是。sABCDsABCDEMNEFGP如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM＝EF(1)證明MF是異面直線AB與PC的公垂線；(2)若PA=3AB,求二面角E—AB—D平面角的正弦值.(3)若PA=3AB,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值.PABCDEFM（1）證明：因PA⊥底面,有PA⊥AB,又知AB⊥AD,故AB⊥面PAD,推得BA⊥AE,又AM∥CD∥EF,且AM=EF,證得AEFM是矩
7、形,故AM⊥MF.又因AE⊥PD,AE⊥CD,故AE⊥面PCD,而MF∥AE,得MF⊥面PCD,故MF⊥PC,因此MF是AB與PC的公垂線.PABCDEFMPABCDEFM（2）由（1）知AE⊥AB,又AD⊥AB,故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角.設(shè)AB=a,則PA=3a.因Rt△ADE~Rt△PDA,故∠EAD=∠APD因此PABCDEFM(3)若PA=3AB,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值.(3)若PA=3AB,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值.PABCDEFM解：連結(jié)BD交AC于O,連
8、結(jié)BE,過O作BE的垂線OH,垂足H在BE上.易知PD⊥面MAE,故DE⊥BE,又OH⊥BE,故OH//DE,因此OH⊥面MAE.連結(jié)AH,則∠HAO是所要求的線AC與面NAE所成的角,設(shè)AB=a,則PA=3a,因Rt△ADE~Rt△PDA,故OH空間中的距離主要指以下七種：(1)兩點之間的距離.(2)點到直線的距離.(3)點到平面的距離.(4)兩條平行線間的距離.(5)兩條異面直線間的距離.(6)平面的平行直線
