Lyapunov穩(wěn)定性分析

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1、線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)第四章Lyapunov穩(wěn)定性分析內(nèi)容與要點內(nèi)容要點Lyapunov穩(wěn)定性概念平衡點,穩(wěn)定性,漸近穩(wěn)定性,全局漸近穩(wěn)定性Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù),漸近穩(wěn)定性判據(jù),全局漸近穩(wěn)定性判據(jù)連續(xù)時間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)間接法判據(jù)，直接法判據(jù)離散時間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)間接法判據(jù)，直接法判據(jù)一、Lyapunov穩(wěn)定性概念1、平衡狀態(tài)（平衡點）在沒有外界干擾的情況下，系統(tǒng)保持靜止不動的狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的計算線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：一、Lyapunov穩(wěn)定性概念例:單擺兩個平衡點一、

2、Lyapunov穩(wěn)定性概念一、Lyapunov穩(wěn)定性概念2、Lyapunov穩(wěn)定性定義一、Lyapunov穩(wěn)定性概念一、Lyapunov穩(wěn)定性概念3、Lyapunov漸近穩(wěn)定性定義平衡點稱為漸近穩(wěn)定的，如果滿足：1）Lyapunov穩(wěn)定性；2）當(dāng)時間趨于無窮時狀態(tài)軌跡趨于平衡狀態(tài)：一、Lyapunov穩(wěn)定性概念4、Lyapunov大范圍（全局）漸近穩(wěn)定性定義平衡點稱為漸近穩(wěn)定的，如果滿足：1）Lyapunov穩(wěn)定性；2）當(dāng)時間趨于無窮時狀態(tài)軌跡趨于平衡狀態(tài)；3）條件2）對于任意初始狀態(tài)成立。一、Lyapu

3、nov穩(wěn)定性概念5、Lyapunov不穩(wěn)定二、Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)1、Lyapunov穩(wěn)定性判別的基本方法間接法（第一方法）通過求出系統(tǒng)的解來判斷直接法（第二方法,Lyapunov函數(shù)方法）通過構(gòu)造一種廣義能量函數(shù)（稱為Lyapunov函數(shù)）并利用系統(tǒng)向量場f(x)來判斷。二、Lyapunov穩(wěn)定性判別2、Lyapunov函數(shù)（廣義能量函數(shù)）Lyapunov函數(shù)的定義二、Lyapunov穩(wěn)定性判別二次型Lyapunov函數(shù)對稱矩陣二、Lyapunov穩(wěn)定性判別標(biāo)量函數(shù)的定號性二、Lyapunov穩(wěn)定

4、性判別二次型函數(shù)的定號的判斷Sylvester判據(jù)二、Lyapunov穩(wěn)定性判別特征值判據(jù)二、Lyapunov穩(wěn)定性判別二、Lyapunov穩(wěn)定性判別3、Lyapunov穩(wěn)定性判別定理二、Lyapunov穩(wěn)定性判別例:研究單擺在(0,0)點的穩(wěn)定性二、Lyapunov穩(wěn)定性判別二、Lyapunov穩(wěn)定性判別4、Lyapunov漸近穩(wěn)定性判別定理二、Lyapunov穩(wěn)定性判別推論二、Lyapunov穩(wěn)定性判別二、Lyapunov穩(wěn)定性判別二、Lyapunov穩(wěn)定性判別二、Lyapunov穩(wěn)定性判別二、Lya

5、punov穩(wěn)定性判別5、Lyapunov不穩(wěn)定性判別定理二、Lyapunov穩(wěn)定性判別穩(wěn)定性小結(jié)與作業(yè)概念平衡點Lyapunov穩(wěn)定Lyapunov漸近穩(wěn)定Lyapunov全局漸近穩(wěn)定Lyapunov不穩(wěn)定Lyapunov函數(shù)Lyapunov函數(shù)的正（負）定二次型Lyapunov穩(wěn)定性定理Lyapunov穩(wěn)定性Lyapunov漸近穩(wěn)定性Lyapunov全局漸近穩(wěn)定性Lyapunov不穩(wěn)定性作業(yè)P182-1821(1)補充小結(jié)與作業(yè)三、連續(xù)時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別1、線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)的間接法三、連續(xù)時間

6、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別三、連續(xù)時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別2、線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)的直接法三、連續(xù)時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別三、連續(xù)時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別三、連續(xù)時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別三、連續(xù)時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別3、應(yīng)用MATLAB求解李雅普諾夫方程P=lyap(A,Q)解方程AP+PA’=-Q>>A=[01;-1-1];>>A=A';％將A轉(zhuǎn)置>>Q=[10;01];>>P=lyap(A,Q)P=1.50000.50000.50001.0000注意：應(yīng)先將A矩陣轉(zhuǎn)置后再代入lyap()函數(shù)。四、離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)

7、定性判別1、離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)的間接法四、離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別2、離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)的直接法四、離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別四、離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別四、離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別本章小結(jié)穩(wěn)定性概念李亞普諾夫穩(wěn)定李亞普諾夫漸進穩(wěn)定李亞普諾夫大范圍(全局)漸進穩(wěn)定李亞普諾夫不穩(wěn)定本章小結(jié)穩(wěn)定性判斷李亞普諾夫穩(wěn)定性第一法李亞普諾夫穩(wěn)定性第二法線性（定常、離散）系統(tǒng)李亞普諾夫穩(wěn)定性作業(yè)P182:3(1),(3),5附錄:LyapunovAleksandrMikhailovichLyapuno

8、v（1857~1918），俄羅斯數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和物理學(xué)家。Lyapunov在微分方程、位勢理論、系統(tǒng)穩(wěn)定性理論以及概率論等領(lǐng)域做出了重大貢獻。編輯了歐拉（Euler）文集第18、19卷。Lyapunov是俄羅斯科學(xué)院院士，意大利林琴科學(xué)院以及法國巴黎科學(xué)院的外籍院士。附錄:Lyapunov1892年，莫斯科大學(xué)的博士學(xué)位論文：“運動穩(wěn)定性的一般問題”（TheGeneralProblemofTheStabilityofMotio